Chuyên đề: Dao động điều hoà — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn $x = A\cos(\omega t + \varphi)$:

• Biên độ dao động: $A = 6\,\text{cm}$.
• Tần số góc: $\omega = 4\pi\,\text{rad/s}$.
• Chu kì dao động: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\,\text{s}$.
• Tần số dao động: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5} = 2\,\text{Hz}$.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\frac{\pi}{3}\,\text{rad}$.

b) Tại thời điểm $t = 0{,}5\,\text{s}$:

• Pha dao động là: $\Phi = 4\pi \cdot 0{,}5 - \frac{\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\,\text{rad}$.
• Li độ của vật: $x = 6\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 6 \cdot 0{,}5 = 3\,\text{cm}$.

Kết luận: Biên độ $A = 6\,\text{cm}$, chu kì $T = 0{,}5\,\text{s}$, tần số $f = 2\,\text{Hz}$; tại $t = 0{,}5\,\text{s}$ vật có li độ $x = 3\,\text{cm}$.

a) Áp dụng hệ thức độc lập giữa li độ và vận tốc:

$$A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{40}{10}\right)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}.$$

b) Tính giá trị cực đại:

• Tốc độ cực đại: $v_{\max} = \omega A = 10 \cdot 5 = 50\,\text{cm/s} = 0{,}5\,\text{m/s}$.
• Độ lớn gia tốc cực đại: $a_{\max} = \omega^2 A = 10^2 \cdot 5 = 500\,\text{cm/s}^2 = 5\,\text{m/s}^2$.

c) Độ lớn gia tốc khi $x = 3\,\text{cm}$:

$$|a| = \omega^2 |x| = 10^2 \cdot 3 = 300\,\text{cm/s}^2 = 3\,\text{m/s}^2.$$

Kết luận: Biên độ $A = 5\,\text{cm}$, $v_{\max} = 50\,\text{cm/s}$, $a_{\max} = 5\,\text{m/s}^2$, gia tốc tại $x = 3\,\text{cm}$ là $3\,\text{m/s}^2$.

a) Tần số góc của dao động:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\,\text{rad/s} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = 100\pi^2 = 1000\,\text{rad}^2/\text{s}^2.$$

Cơ năng của vật:

$$W = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 1000 \cdot (0{,}1)^2 = 100 \cdot 0{,}01 = 1\,\text{J}.$$

b) Khi li độ $x = 0{,}06\,\text{m}$:

• Thế năng của vật: $W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 1000 \cdot (0{,}06)^2 = 100 \cdot 0{,}0036 = 0{,}36\,\text{J}$.
• Động năng của vật: $W_d = W - W_t = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\,\text{J}$.

Kết luận: Cơ năng $W = 1\,\text{J}$; tại $x = 6\,\text{cm}$, thế năng là $0{,}36\,\text{J}$ và động năng là $0{,}64\,\text{J}$.

Bước 1: Tính chu kì dao động riêng $T_0$ của con lắc đơn:

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{0{,}5}{\pi} = 1\,\text{s}.$$

Bước 2: Xác định chu kì tác dụng của ngoại lực kích thích:

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp bánh xe đập vào mối nối thanh ray là: $T = \frac{L}{v}$.

Bước 3: Điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng cơ:

Con lắc dao động mạnh nhất khi chu kì của lực kích thích bằng chu kì dao động riêng của con lắc ($T = T_0$):

$$\frac{L}{v} = T_0 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{L}{T_0} = \frac{12{,}5}{1} = 12{,}5\,\text{m/s}.$$

Đổi đơn vị tốc độ: $v = 12{,}5 \times 3{,}6 = 45\,\text{km/h}$.

Kết luận: Khi tàu chạy với tốc độ $v = 12{,}5\,\text{m/s} = 45\,\text{km/h}$ thì con lắc dao động mạnh nhất.