Chuyên đề: Bất phương trình & Hệ BPT bậc nhất hai ẩn

Bước 1: Vẽ đường thẳng bờ $d: 2x - y + 2 = 0$.

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$, ta được điểm $A(0; 2)$.
• Cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$, ta được điểm $B(-1; 0)$.
• Nối $A$ và $B$ ta được đường thẳng bờ $d$.

Bước 2: Lấy gốc toạ độ $O(0; 0) \notin d$. Thay $x = 0, y = 0$ vào vế trái của bất phương trình:

$$2 \cdot 0 - 0 + 2 = 2.$$

Vì “$2 \le 0$” là mệnh đề sai nên $(0; 0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình.

Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$, không chứa gốc toạ độ $O(0; 0)$ (kể cả bờ $d$).

- $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục tung $Oy$ (kể cả trục $Oy$).

- $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành $Ox$ (kể cả trục $Ox$).

- $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d: x + y = 4$ chứa điểm $O(0; 0)$.

Miền nghiệm của hệ là giao của ba miền trên, tức là miền tam giác $OAB$ (kể cả các cạnh) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với các đỉnh:

• Điểm $O(0; 0)$ (giao của $Ox$ và $Oy$).
• Điểm $A(4; 0)$ (giao của $d$ với $Ox$).
• Điểm $B(0; 4)$ (giao của $d$ với $Oy$).

Gọi $x, y$ lần lượt là số ghế loại I và loại II sản xuất trong một ngày ($x, y \in \mathbb{N}$).

Theo giả thiết bài toán, ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 2x + y \le 10 \\ x + 2y \le 8 \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \end{cases}$$

(bất phương trình thứ nhất là điều kiện về thời gian gia công, bất phương trình thứ hai là điều kiện về thời gian sơn).

Lợi nhuận thu được là $F(x; y) = 400x + 300y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh:

• $O(0; 0)$
• $A(5; 0)$ (giao điểm của $2x + y = 10$ với trục $Ox$)
• $B(4; 2)$ (nghiệm của hệ: $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x + 2y = 8 \end{cases}$)
• $C(0; 4)$ (giao điểm của $x + 2y = 8$ với trục $Oy$)

Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại từng đỉnh (đơn vị: nghìn đồng):

• $F(0; 0) = 0$.
• $F(5; 0) = 400 \cdot 5 + 300 \cdot 0 = 2\,000$.
• $F(4; 2) = 400 \cdot 4 + 300 \cdot 2 = 2\,200$.
• $F(0; 4) = 400 \cdot 0 + 300 \cdot 4 = 1\,200$.

Giá trị lớn nhất của $F$ trên miền nghiệm là $2\,200$, đạt tại $(4; 2)$; cặp số này gồm các số tự nhiên nên thỏa mãn điều kiện $x, y \in \mathbb{N}$.

Kết luận: Lợi nhuận lớn nhất là $2\,200\,000$ đồng khi xưởng sản xuất $4$ chiếc ghế loại I và $2$ chiếc ghế loại II mỗi ngày.