Chuyên đề: Mệnh đề & Tập hợp — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) "$15$ là một số nguyên tố" là một mệnh đề sai, vì số $15$ chia hết cho $1, 3, 5, 15$ nên là hợp số.

b) "Phương trình $x^2 - 4x + 4 = 0$ có nghiệm kép" là một mệnh đề đúng, vì $(x - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

c) "Thời tiết hôm nay đẹp quá!" là câu cảm thán bộc lộ cảm xúc, không thể xác định đúng sai nên không phải là mệnh đề.

d) “$2x + 1 > 5$” không phải là mệnh đề vì tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của $x$; đây là một mệnh đề chứa biến (chẳng hạn với $x = 3$ ta được mệnh đề đúng, với $x = 0$ ta được mệnh đề sai).

a) Giả thiết $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông", kết luận $Q$: "$ABCD$ có hai đường chéo vuông góc". Vì mọi hình vuông đều có 2 đường chéo vuông góc nên mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau thì $ABCD$ là hình vuông".

Mệnh đề đảo này là mệnh đề sai. Phản ví dụ: hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$ có hai đường chéo vuông góc nhưng không phải là hình vuông.

Kết luận: $P \Rightarrow Q$ đúng nhưng $Q \Rightarrow P$ sai nên $P$ và $Q$ không phải là hai mệnh đề tương đương.

a) Mệnh đề phủ định của $P$ là: $\overline{P}: \text{“}\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0\text{”}$.

Do với mọi số thực $x$, ta luôn có $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1 > 0$ nên không tồn tại số thực nào để $x^2 + 1 \le 0$. Vậy $\overline{P}$ là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề phủ định của $Q$ là: $\overline{Q}: \text{“}\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ không chia hết cho } 5\text{”}$.

Với $n = 2 \in \mathbb{N}$, ta có $2^2 + 1 = 5 \,\vdots\, 5$. Do đó mệnh đề $Q$ đúng, dẫn tới mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

Bước 1: Liệt kê các phần tử:

- Do $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 5\} \Rightarrow A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

- Giải phương trình $x^2 - x - 6 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -2$.

Vì $3, -2 \in \mathbb{Z}$ nên $B = \{-2; 3\}$.

Bước 2: Thực hiện các phép toán:

• $A \cap B = \{3\}$ (phần tử chung).
• $A \cup B = \{-2; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.
• $A \setminus B = \{0; 1; 2; 4; 5\}$ (thuộc A nhưng không thuộc B).
• $B \setminus A = \{-2\}$ (thuộc B nhưng không thuộc A).

Biểu diễn các điểm mút theo thứ tự tăng dần trên trục số: $-3 < 0 < 4 < 7$.

• $A \cap B$: Là phần chung của hai tập hợp $\Rightarrow A \cap B = (0; 4)$.
• $A \cup B$: Vì $A$ và $B$ có phần chung $(0; 4)$ nên hợp của chúng liền một khối từ $-3$ đến $7$ $\Rightarrow A \cup B = [-3; 7]$.
• $A \setminus B$: Lấy phần thuộc $A$ nhưng bỏ đi phần thuộc $B$ $\Rightarrow A \setminus B = [-3; 0]$. (chú ý: tại $x=0$ không thuộc $B$ nên vẫn thuộc $A \setminus B$).
• $C_{\mathbb{R}} A = \mathbb{R} \setminus A$: Lấy phần bù của $[-3; 4)$ trên toàn trục số $\Rightarrow C_{\mathbb{R}} A = (-\infty; -3) \cup [4; +\infty)$.