Chuyên đề: Phương pháp tọa độ Oxy & Ba đường Conic

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với hai vectơ đơn vị $\vec{i} = (1; 0)$ và $\vec{j} = (0; 1)$:

• Vectơ $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \Leftrightarrow \vec{u} = (x; y)$.
• Điểm $M(x; y) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = (x; y)$.
• Với hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$, khoảng cách $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Tọa độ trung điểm $I$ của $AB$: $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, \, y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.
• Tích vô hướng: $\vec{u}(x_1; y_1) \cdot \vec{v}(x_2; y_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
• Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.
• Nếu $\vec{u} = (x_1; y_1)$, $\vec{v} = (x_2; y_2)$ thì $\vec{u} \pm \vec{v} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2)$ và $k\vec{u} = (kx_1; ky_1)$.

Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ (với $\vec{u} = (x_1; y_1)$, $\vec{v} = (x_2; y_2)$):

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

1. Vectơ pháp tuyến và Vectơ chỉ phương

• Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ gọi là VTPT của $\Delta$.
• Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với $\Delta$ gọi là VTCP của $\Delta$.
• Nếu $\vec{n} = (a; b)$ thì có thể chọn $\vec{u} = (-b; a)$ hoặc $(b; -a)$ vì $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$.

2. Các dạng phương trình đường thẳng

• Phương trình tổng quát: $ax + by + c = 0$ ($a^2 + b^2 > 0$), trong đó $\vec{n} = (a; b)$ là một VTPT.
• Đường thẳng đi qua một điểm và có VTPT: đường thẳng đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và nhận $\vec{n} = (a; b)$ làm VTPT có phương trình $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.
• Phương trình tham số: Đi qua $M_0(x_0; y_0)$, VTCP $\vec{u}(u_1; u_2)$: $\begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + u_2 t \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$).
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: $d(M_0, \Delta) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

3. Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ có VTPT tương ứng $\vec{n_1} = (a_1; b_1)$, $\vec{n_2} = (a_2; b_2)$:

$$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$$

Ba đường Conic là những đường cong phẳng kinh điển với nhiều ứng dụng trong thiên văn học (quỹ đạo hành tinh, vệ tinh) và kỹ thuật. Định nghĩa theo SGK:

• Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1 + MF_2 = 2a$, với $F_1$, $F_2$ là hai điểm cố định, $F_1F_2 = 2c$ và $a > c > 0$.
• Hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho $|MF_1 - MF_2| = 2a$, với $F_1F_2 = 2c$ và $0 < a < c$.
• Parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều điểm $F$ cố định và đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua $F$: $MF = d(M, \Delta)$.