CHUYÊN ĐỀ 4 · TOÁN 10 KẾT NỐI TRI THỨC

Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác & Vectơ trong mặt phẳng

Q: Câu 1: Khi nào thì áp dụng định lí côsin, khi nào áp dụng định lí sin?

Áp dụng định lí côsin khi biết: (1) Hai cạnh và góc xen giữa (để tìm cạnh còn lại), hoặc (2) Biết cả ba cạnh (để tìm các góc). Áp dụng định lí sin khi biết: Một cạnh và hai góc, hoặc biết hai cạnh và một góc đối diện, hoặc cần tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

Q: Câu 2: Tích vô hướng của hai vectơ có thể nhận giá trị âm không?

Có. Vì tích vô hướng phụ thuộc vào cos của góc giữa hai vectơ. Khi góc giữa hai vectơ là góc tù (lớn hơn 90 độ), cos của góc âm nên tích vô hướng sẽ mang giá trị âm.

Q: Câu 3: Bình phương vô hướng của một vectơ là gì?

Bình phương vô hướng của vectơ a⃗ là tích vô hướng a⃗ · a⃗ = |a⃗|² (bằng bình phương độ dài của vectơ đó).

Toán 10 · Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống · Chuyên đề toàn diện

Tổng hợp giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°, định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích tam giác (công thức Heron), bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; vectơ, tích của vectơ với một số, các quy tắc vectơ và tích vô hướng của hai vectơ cùng ứng dụng tính góc, độ dài.

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm $O$ , bán kính $1$ , nằm phía trên trục hoành. Với mỗi góc $\alpha$ ( $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ ) có duy nhất điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$ . Khi đó:

$\sin\alpha = y_0$ , $\cos\alpha = x_0$ ;
$\tan\alpha = \frac{y_0}{x_0}$ ( $\alpha \ne 90^\circ$ ), $\cot\alpha = \frac{x_0}{y_0}$ ( $\alpha \ne 0^\circ$ và $\alpha \ne 180^\circ$ ).

Nhận xét: Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ thì các giá trị lượng giác của $\alpha$ đều dương; với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ thì $\sin\alpha > 0$ , còn $\cos\alpha$ , $\tan\alpha$ , $\cot\alpha$ đều âm.

Hai góc bù nhau ( $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$ ):

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ ;
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ ;
$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$ ( $\alpha \ne 90^\circ$ );
$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$ ( $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ ).

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt (kí hiệu || chỉ giá trị không xác định):

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$	\|\|
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ$	$1$	$0$	\|\|	$0$
$120^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$135^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$
$150^\circ$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
$180^\circ$	$0$	$-1$	$0$	\|\|

Ví dụ minh họa 1 Tính giá trị lượng giác của góc tù nhờ hai góc bù nhau

Bài toán: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \cos 120^\circ + \sin 150^\circ$ ;

b) $B = \sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ + \tan 120^\circ \cdot \cot 150^\circ$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ và $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .

Do đó $A = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ .

b) $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$ ; $\cot 150^\circ = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}$ .

Suy ra $\sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$ và $\tan 120^\circ \cdot \cot 150^\circ = (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 3$ .

$B = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}.$

Kết luận: $A = 0$ và $B = \frac{7}{2}$ .

II. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Trong tam giác $ABC$ , ta quy ước đặt các cạnh đối diện các góc $A, B, C$ lần lượt là $a = BC, b = CA, c = AB$ .

1. Định lí côsin

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Hệ quả: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ (tương tự cho $\cos B$ , $\cos C$ ), dùng để tính góc khi biết ba cạnh.

2. Định lí sin

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Giải tam giác là tìm các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi biết một số yếu tố của nó (chẳng hạn hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, hoặc một cạnh và hai góc). Ta sử dụng định lí côsin, định lí sin và tính chất tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ .

Ví dụ minh họa 2 Áp dụng định lí côsin và định lí sin tính cạnh, bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $b = 8$ , $c = 5$ và góc $\widehat{A} = 60^\circ$ .

a) Tính độ dài cạnh $a$ .

b) Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng định lí côsin:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$= 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$

$= 64 + 25 - 40 = 49.$

Suy ra $a = \sqrt{49} = 7$ .

b) Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R$ nên

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{7}{2\sin 60^\circ}$

$= \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}.$

III. Các công thức tính diện tích tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ có thể được tính bằng nhiều công thức tùy thuộc vào giả thiết đề bài:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ (Cạnh đáy nhân chiều cao tương ứng).
$S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ca \sin B$ (Tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa).
$S = \frac{abc}{4R}$ ( $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
$S = p \cdot r$ ( $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp).
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Heron).

Ví dụ minh họa 3 Tính diện tích tam giác bằng công thức Heron và tìm

r

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a = 13$ , $b = 14$ , $c = 15$ . Tính diện tích $S$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ .

Lời giải chi tiết:

Nửa chu vi tam giác $p$ là: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ .

Áp dụng công thức Heron:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84.$

Mặt khác: $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ .

IV. Vectơ và các phép toán vectơ

1. Khái niệm vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có điểm đầu và điểm cuối). Kí hiệu vectơ có điểm đầu $A$ , điểm cuối $B$ là $\overrightarrow{AB}$ .

Độ dài của đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ , kí hiệu $|\overrightarrow{AB}|$ .

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu $\vec{0}$ , có độ dài bằng $0$ và hướng tùy ý.

2. Các quy tắc vectơ cần nhớ:

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A, B, C$ bất kì: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ .
Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .
Tính chất trung điểm: $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ . Với điểm $M$ bất kì: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ .
Tính chất trọng tâm: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ . Với điểm $M$ bất kì: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ .

Ví dụ minh họa 4 Biểu thị vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải chi tiết:

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm (chèn điểm $M$ ) vào hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC})$

$= 2\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = 2\overrightarrow{AM}.$

Vậy $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ .

V. Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ và tích vô hướng

Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ (khác $\vec{0}$ ): từ điểm $O$ vẽ $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ ; khi đó $(\vec{a}, \vec{b}) = \widehat{AOB}$ , với $0^\circ \le (\vec{a}, \vec{b}) \le 180^\circ$ .

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, kí hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , xác định bởi:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

Quy ước: nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .

Nhận xét: Với $\vec{a}$ , $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ : $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ và $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$ . Nếu $\vec{a} = (x_1; y_1)$ , $\vec{b} = (x_2; y_2)$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ .

Ví dụ minh họa 5 Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Bài toán: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ .

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ chính là góc $\widehat{BAC} = 60^\circ$ .

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

b) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ :

Chú ý hai vectơ này chưa chung gốc. Ta có $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 180^\circ - \widehat{B} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos 120^\circ = a \times a \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$

🌟 Ghi nhớ kiến thức trọng tâm

Hai góc bù nhau: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ , $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$ , $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$ .
Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ . Hệ quả: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ .
Các công thức tính diện tích: $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .
Các quy tắc vectơ: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm và trọng tâm tam giác; $\vec{b}$ cùng phương $\vec{a}$ ( $\vec{a} \ne \vec{0}$ ) khi và chỉ khi $\vec{b} = k\vec{a}$ .
Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$ ; hai vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$ .

Câu hỏi ôn tập & củng cố kiến thức

Câu 1: Khi nào thì áp dụng định lí côsin, khi nào áp dụng định lí sin?

Áp dụng định lí côsin khi biết: (1) Hai cạnh và góc xen giữa (để tìm cạnh còn lại), hoặc (2) Biết cả ba cạnh (để tìm các góc). Áp dụng định lí sin khi biết: Một cạnh và hai góc, hoặc biết hai cạnh và một góc đối diện, hoặc cần tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

Câu 2: Tích vô hướng của hai vectơ có thể nhận giá trị âm không?

Có. Vì tích vô hướng phụ thuộc vào cos của góc giữa hai vectơ. Khi góc giữa hai vectơ là góc tù (lớn hơn 90 độ), cos của góc âm nên tích vô hướng sẽ mang giá trị âm.

Câu 3: Bình phương vô hướng của một vectơ là gì?

Bình phương vô hướng của vectơ a⃗ là tích vô hướng a⃗ · a⃗ = |a⃗|² (bằng bình phương độ dài của vectơ đó).

Luyện đề thực chiến

Đề kiểm tra trắc nghiệm: Hệ thức lượng & Vectơ

5 đề theo 5 cấp độ, mỗi đề 22 câu · 90 phút, chỉ gồm kiến thức trong chuyên đề này. Chấm điểm ngay sau khi nộp.

Vào luyện đề ngay →