Chuyên đề: Tam thức bậc hai và Bất phương trình bậc hai một ẩn

a) $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$ là tam thức bậc hai với các hệ số $a = 2 \ne 0$, $b = -5$, $c = 2$.

Biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0$.

Vì $\Delta > 0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$ và $x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = 2$.

b) $g(x)$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ (khi $m = 1$, $g(x) = 2x - 3$ là biểu thức bậc nhất). Với $m \ne 1$: $b' = 1$ và $\Delta' = 1^2 - (m - 1)(-3) = 3m - 2$.

• Nếu $m > \frac{2}{3}$ và $m \ne 1$: $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3m - 2}}{m - 1}$.
• Nếu $m = \frac{2}{3}$: $g(x)$ có nghiệm kép $x = -\frac{1}{m - 1} = 3$.
• Nếu $m < \frac{2}{3}$: $g(x)$ vô nghiệm.

Ta có: $a = -1 < 0$, $b = 4$, $c = -3$.

Biệt thức thu gọn ($b' = 2$): $\Delta' = 2^2 - (-1)(-3) = 4 - 3 = 1 > 0$.

Phương trình $-x^2 + 4x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$.

Áp dụng quy tắc “trong trái, ngoài cùng”:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (1; 3)$ (trong khoảng nghiệm, trái dấu với $a$).
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ (ngoài khoảng nghiệm, cùng dấu với $a$).
• $f(x) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 3$.

Để $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, điều kiện cần và đủ là:

$$\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}$$

Ở đây hệ số $a = 1 > 0$ (luôn thỏa mãn). Ta chỉ cần xét $\Delta' < 0$:

$$\Delta' = (m + 1)^2 - (4m + 4)$$

$$= m^2 + 2m + 1 - 4m - 4$$

$$= m^2 - 2m - 3.$$

Giải bất phương trình: $m^2 - 2m - 3 < 0$.

Tam thức $g(m) = m^2 - 2m - 3$ có hệ số $a = 1 > 0$ và hai nghiệm là $m_1 = -1, m_2 = 3$.

Để $g(m) < 0$ (trái dấu với hệ số $a$), giá trị $m$ phải nằm trong khoảng hai nghiệm:

$$\Rightarrow -1 < m < 3$$

Kết luận: Các giá trị $m$ thỏa mãn là $m \in (-1; 3)$.

a) Xét $2x^2 - 7x + 3 \le 0$:

- Phương trình $2x^2 - 7x + 3 = 0$ có hai nghiệm là $x_1 = \frac{1}{2}$ và $x_2 = 3$.

- Hệ số $a = 2 > 0$. Tam thức cần lấy giá trị $\le 0$ (trái dấu với $a$ và bằng $0$).

- Theo quy tắc “trong trái”, $x$ nằm trong đoạn giữa hai nghiệm: $\frac{1}{2} \le x \le 3$.

Vậy tập nghiệm là $S = \left[\frac{1}{2}; 3\right]$.

b) Xét $-x^2 + 2x - 5 > 0$:

- Tam thức $f(x) = -x^2 + 2x - 5$ có $a = -1 < 0$ và $\Delta' = 1^2 - (-1)(-5) = 1 - 5 = -4 < 0$.

- Vì $\Delta' < 0$ nên $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x$, tức $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

- Do đó không có giá trị nào của $x$ để $f(x) > 0$.

Vậy bất phương trình vô nghiệm, tập nghiệm $S = \emptyset$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$2x^2 - 3x - 1 = x^2 + x - 4$$

$$\Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3.$$

Thử lại vào phương trình ban đầu:

• Với $x = 1$: $2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 1 = -2 < 0$ nên $\sqrt{-2}$ không xác định; loại $x = 1$.
• Với $x = 3$: vế trái $\sqrt{18 - 9 - 1} = \sqrt{8}$, vế phải $\sqrt{9 + 3 - 4} = \sqrt{8}$ (thỏa mãn).

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$2x^2 - 5x - 3 = (x - 1)^2$$

Khai triển $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ và rút gọn:

$$x^2 - 3x - 4 = 0.$$

Phương trình bậc hai có $a - b + c = 1 - (-3) - 4 = 0$ nên có hai nghiệm: $x_1 = -1$ và $x_2 = 4$.

Thử lại vào phương trình ban đầu:

• Với $x = -1$: Vế trái $\sqrt{2(-1)^2 - 5(-1) - 3} = \sqrt{4} = 2$. Vế phải: $-1 - 1 = -2$. Vì $2 \ne -2$ nên $x = -1$ bị loại (nghiệm ngoại lai).
• Với $x = 4$: Vế trái $\sqrt{2(4^2) - 5(4) - 3} = \sqrt{32 - 20 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Vế phải: $4 - 1 = 3$ (thỏa mãn).

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = 4$.