Chuyên đề: Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng hình học — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Áp dụng bảng nguyên hàm và các tính chất tuyến tính trên khoảng $(0; +\infty)$:

$$\int \left( 6x^2 - 4\sin x + \frac{2}{x} \right)dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int \sin x dx + 2 \int \frac{1}{x} dx$$

$$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4(-\cos x) + 2\ln x + C = 2x^3 + 4\cos x + 2\ln x + C.$$

b) Họ nguyên hàm của $g(x) = 3x^2 - 2x + 1$ là:

$$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C.$$

Theo giả thiết $F(1) = 5$:

$$F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4.$$

Kết luận: Nguyên hàm cần tìm là $F(x) = x^3 - x^2 + x + 4$.

a) Ta có nguyên hàm của $3x^2 + 2e^x$ là $F(x) = x^3 + 2e^x$.

Áp dụng công thức Newton-Leibniz:

$$I = \left. (x^3 + 2e^x) \right|_0^1 = (1^3 + 2e^1) - (0^3 + 2e^0) = 1 + 2e - 2 = 2e - 1.$$

b) Tính $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$ bằng phương pháp từng phần:

Đặt $\begin{cases} u = x \\ dv = \cos x\,dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = \sin x. \end{cases}$

Áp dụng công thức:

$$J = \left. (x\sin x) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$$

$$= \left( \frac{\pi}{2} \sin\frac{\pi}{2} - 0 \right) - \left. (-\cos x) \right|_0^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \frac{\pi}{2} \cdot 1 + \left( \cos\frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = \frac{\pi}{2} + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1.$$

Kết luận: $I = 2e - 1$ và $J = \frac{\pi}{2} - 1$.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục $Ox$:

$$4 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \text{ hoặc } x = 2.$$

Trên đoạn $[-2; 2]$, ta có $4 - x^2 \ge 0$. Diện tích hình phẳng là:

$$S = \int_{-2}^2 (4 - x^2)dx = \left. \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-2}^2$$

$$= \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$

$$= \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}.$$

b) Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$:

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left. \left( \frac{x^2}{2} \right) \right|_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi.$$

Kết luận: Diện tích hình phẳng $S = \frac{32}{3}$ (đvdt) và thể tích khối tròn xoay $V = 8\pi$ (đvtt).