Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số — Lý thuyết và Phương pháp giải

Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)$.

$$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \text{ hoặc } x = 3.$$

Bước 2: Xét dấu đạo hàm $y'$:

• $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
• $y' < 0$ khi $x \in (-1; 3)$.

Bước 3: Giá trị hàm số tại các điểm tới hạn:

$$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 2 = 7.$$

$$y(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 2 = -25.$$

Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.
• Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = 7$.
• Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = -25$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$.

Đạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.

Trên khoảng $(0; 2)$, ta có:

$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \quad (\text{vì } x = 0 \text{ là mút đoạn, } x = -1 \notin (0; 2)).$$

Tính các giá trị tại các mút và điểm tới hạn:

• $f(0) = 0^4 - 2(0^2) + 3 = 3$.
• $f(1) = 1^4 - 2(1^2) + 3 = 2$.
• $f(2) = 2^4 - 2(2^2) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.

Kết luận:

$$\max_{[0; 2]} f(x) = 11 \quad (\text{đạt được tại } x = 2).$$

$$\min_{[0; 2]} f(x) = 2 \quad (\text{đạt được tại } x = 1).$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Biến đổi hàm số: $y = \frac{(x - 1)(x - 2) - 1}{x - 1} = x - 2 - \frac{1}{x - 1}$.

1. Tiệm cận đứng:

$$\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \left(x - 2 - \frac{1}{x - 1}\right) = -\infty,$$

$$\lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \left(x - 2 - \frac{1}{x - 1}\right) = +\infty.$$

Do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Tiệm cận xiên:

$$\lim_{x \to +\infty} [y - (x - 2)] = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x - 1}\right) = 0,$$

$$\lim_{x \to -\infty} [y - (x - 2)] = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x - 1}\right) = 0.$$

Do đó đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Kết luận: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận xiên là $y = x - 2$.

Bước 1: Gọi $x$ ($x > 0$) là độ dài cạnh đáy hình vuông và $h$ ($h > 0$) là chiều cao của bể (đơn vị mét).

Thể tích của bể: $V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x^2}$.

Bước 2: Diện tích xây dựng bể (không nắp) gồm 1 đáy và 4 mặt bên:

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x} \quad (x > 0).$$

Bước 3: Khảo sát hàm số $S(x)$ trên $(0; +\infty)$:

$$S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = \frac{2x^3 - 128}{x^2} = \frac{2(x^3 - 64)}{x^2}.$$

$$S'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4.$$

Xét dấu đạo hàm $S'(x)$ trên $(0; +\infty)$:

• Với $0 < x < 4$ thì $S'(x) < 0$ (hàm số giảm).
• Với $x > 4$ thì $S'(x) > 0$ (hàm số tăng).

Do đó $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 4$.

Khi $x = 4\text{ m}$, chiều cao $h = \frac{32}{4^2} = 2\text{ m}$.

Diện tích xây dựng nhỏ nhất là $S(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\text{ m}^2$.

Kết luận: Độ dài cạnh đáy hình vuông cần xây là $x = 4\text{ m}$ để chi phí xây dựng là nhỏ nhất.