Chuyên đề: Vectơ không gian, Hệ tọa độ Oxyz và Thống kê ghép nhóm — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Áp dụng quy tắc hình hộp cho ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$:

$$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}.$$

b) Ta có $\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$.

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AB \perp AD \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$. Khi đó:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - |\overrightarrow{AB}|^2 = 0 - a^2 = -a^2.$$

Mặt khác, do $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'}$, ta có:

$$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}.$$

Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$ là:

$$|\vec{u}| = |\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}.$$

Kết luận: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B'D'} = -a^2$ và $|\vec{u}| = a\sqrt{3}$.

a) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

$$x_G = \frac{1 + 3 + 2}{3} = 2, \quad y_G = \frac{2 + 0 + 4}{3} = 2, \quad z_G = \frac{-1 + 1 + 3}{3} = 1.$$

Vậy $G(2; 2; 1)$.

b) Ta có:

$$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 0 - 2; 1 - (-1)) = (2; -2; 2),$$

$$\overrightarrow{AC} = (2 - 1; 4 - 2; 3 - (-1)) = (1; 2; 4).$$

Độ dài các đoạn thẳng:

$$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},$$

$$AC = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{21}.$$

Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2(1) + (-2)(2) + 2(4) = 2 - 4 + 8 = 6$.

$$\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{6}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = \frac{6}{6\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}.$$

Cỡ mẫu $n = 40$.

1. Khoảng biến thiên: $R = 10 - 4 = 6$.

2. Tìm các tứ phân vị:

Tần số tích lũy: $cf_1 = 6, cf_2 = 24, cf_3 = 40$.

• Tìm $Q_1$: Giá trị $\frac{n}{4} = 10$. Vì $6 < 10 \le 24$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[6; 8)$. Ta có: $$Q_1 = 6 + \frac{10 - 6}{18}(8 - 6) = 6 + \frac{4 \cdot 2}{18} = 6 + \frac{4}{9} = \frac{58}{9} \approx 6{,}44.$$
• Tìm $Q_3$: Giá trị $\frac{3n}{4} = 30$. Vì $24 < 30 \le 40$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[8; 10)$. Ta có: $$Q_3 = 8 + \frac{30 - 24}{16}(10 - 8) = 8 + \frac{6 \cdot 2}{16} = 8 + 0{,}75 = 8{,}75 = \frac{35}{4}.$$

3. Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = \frac{35}{4} - \frac{58}{9} = \frac{315 - 232}{36} = \frac{83}{36} \approx 2{,}31.$$

Kết luận: Khoảng biến thiên $R = 6$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = \frac{83}{36} \approx 2{,}31$.

Cỡ mẫu $n = 4 + 10 + 6 = 20$.

Giá trị đại diện của các nhóm:

• Nhóm $[11; 12)$: $c_1 = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5$.
• Nhóm $[12; 13)$: $c_2 = \frac{12 + 13}{2} = 12{,}5$.
• Nhóm $[13; 14)$: $c_3 = \frac{13 + 14}{2} = 13{,}5$.

1. Số trung bình:

$$\overline{x} = \frac{4(11{,}5) + 10(12{,}5) + 6(13{,}5)}{20} = \frac{46 + 125 + 81}{20} = \frac{252}{20} = 12{,}6\text{ (giây)}.$$

2. Phương sai:

$$\sum n_i c_i^2 = 4(11{,}5^2) + 10(12{,}5^2) + 6(13{,}5^2) = 529 + 1562{,}5 + 1093{,}5 = 3185.$$

$$s^2 = \frac{3185}{20} - (12{,}6)^2 = 159{,}25 - 158{,}76 = 0{,}49.$$

3. Độ lệch chuẩn:

$$s = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7\text{ (giây)}.$$

Kết luận: Số trung bình $\overline{x} = 12{,}6\text{ s}$, phương sai $s^2 = 0{,}49$, độ lệch chuẩn $s = 0{,}7\text{ s}$.