Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz — Lý thuyết và Phương pháp giải

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $(P)$.

• Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm VTPT có phương trình: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.$$
• Phương trình tổng quát dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$).
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng cắt $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ ($abc \ne 0$) có phương trình: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$$
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là: $$d(M_0, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Phương trình tham số và Phương trình chính tắc

Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của $\Delta$.

• Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ (với $a, b, c$ đều khác 0): $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}.$$

Các công thức tính góc

• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng có VTCP $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$: $$\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}.$$
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng có VTPT $\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)$: $$\cos((P), (Q)) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}.$$
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$: $$\sin(d, (P)) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Mặt cầu và Tiếp diện của mặt cầu

• Mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R > 0$ có phương trình chính tắc: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.$$
• Phương trình dạng khai triển: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó tâm là $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
• Mặt phẳng $(\alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0; z_0) \in (S)$ nhận $\overrightarrow{IM_0}$ làm VTPT.