CHUYÊN ĐỀ 5 · TOÁN 12 KẾT NỐI TRI THỨC

Chuyên đề: Xác suất có điều kiện, Xác suất toàn phần và Công thức Bayes — Lý thuyết và Phương pháp giải

Q: Hệ biến cố đầy đủ cần thỏa mãn những điều kiện gì?

Hệ $B_1, B_2, \dots, B_n$ là hệ đầy đủ khi và chỉ khi: Các biến cố đôi một xung khắc ($B_i \cap B_j = \emptyset$ với $i \ne j$), hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu $\Omega$, và xác suất mỗi biến cố $P(B_i) > 0$.

Q: Phân biệt xác suất P(A|B) và P(B|A) như thế nào?

$P(A|B)$ là xác suất của biến cố $A$ khi biết $B$ đã xảy ra (thông tin $B$ là điều kiện). Ngược lại, $P(B|A)$ là xác suất của $B$ khi biết $A$ đã xảy ra. Hai xác suất này thường khác nhau và liên hệ qua công thức Bayes.

Toán 12 · Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống · Chuyên đề toàn diện

Hệ thống toàn diện lý thuyết xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, quy tắc sử dụng sơ đồ hình cây. Nắm vững công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes để giải quyết các bài toán chẩn đoán y khoa và đánh giá rủi ro thực tế theo SGK Toán 12 Kết nối tri thức.

I. Khái niệm Xác suất có điều kiện và Công thức nhân xác suất

Định nghĩa Xác suất có điều kiện và Công thức nhân

Cho hai biến cố $A$ và $B$ .

Xác suất có điều kiện của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra, kí hiệu là $P(A|B)$ , được xác định bởi: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (\text{với } P(B) > 0).$
Công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$
Tính độc lập: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi $P(A|B) = P(A)$ (hoặc $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ).

Ví dụ minh họa 1 Tính xác suất có điều kiện và công thức nhân

Bài toán: Một hộp đựng 10 viên bi có cùng kích thước, trong đó có 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Gọi $A$ là biến cố: "Viên bi thứ nhất màu xanh" và $B$ là biến cố: "Viên bi thứ hai màu xanh".

a) Tính xác suất $P(A)$ và xác suất có điều kiện $P(B|A)$ .

b) Tính xác suất để cả hai viên bi lấy ra đều có màu xanh $P(A \cap B)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Khi lấy viên bi thứ nhất từ 10 viên (6 xanh, 4 đỏ):

$P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0{,}6.$

Khi viên bi thứ nhất đã là màu xanh (biến cố $A$ đã xảy ra), trong hộp còn lại 9 viên bi, gồm 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Xác suất lấy được viên thứ hai màu xanh là:

$P(B|A) = \frac{5}{9}.$

b) Áp dụng công thức nhân xác suất:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333.$

Kết luận: $P(A) = 0{,}6$ ; $P(B|A) = \frac{5}{9}$ và $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ .

II. Công thức xác suất toàn phần và Sơ đồ hình cây

Công thức xác suất toàn phần

Hệ các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ được gọi là một hệ đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc ( $B_i \cap B_j = \emptyset$ với $i \ne j$ ) và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ ( $P(B_i) > 0$ ).

Với mọi biến cố $A$ , ta có công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i).$

Đặc biệt, với hệ gồm 2 biến cố đối nhau $\{B, \overline{B}\}$ :

$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}).$

Sơ đồ cây xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hình 5.1: Sơ đồ hình cây phân nhánh tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Ví dụ minh họa 2 Tính xác suất toàn phần cho bài toán sản xuất linh kiện

Bài toán: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất I và II sản xuất cùng một loại linh kiện điện tử. Dây chuyền I cung cấp $60\%$ tổng sản lượng, dây chuyền II cung cấp $40\%$ tổng sản lượng. Tỉ lệ linh kiện phế phẩm của dây chuyền I là $2\%$ ( $0{,}02$ ), của dây chuyền II là $3\%$ ( $0{,}03$ ). Chọn ngẫu nhiên một linh kiện từ kho của nhà máy. Tính xác suất để linh kiện được chọn là phế phẩm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $B$ là biến cố: "Linh kiện do dây chuyền I sản xuất".

Khi đó $\overline{B}$ là biến cố: "Linh kiện do dây chuyền II sản xuất".

Hệ $\{B, \overline{B}\}$ là một hệ biến cố đầy đủ với $P(B) = 0{,}6$ và $P(\overline{B}) = 0{,}4$ .

Gọi $A$ là biến cố: "Linh kiện được chọn là phế phẩm".

Theo giả thiết ta có xác suất phế phẩm từ từng dây chuyền:

$P(A|B) = 0{,}02 \quad \text{và} \quad P(A|\overline{B}) = 0{,}03.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})$

$= 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}024.$

Kết luận: Xác suất để chọn được một linh kiện phế phẩm là $0{,}024$ (tức $2{,}4\%$ ).

III. Công thức Bayes và Ứng dụng thực tiễn

Công thức Bayes

Cho hệ biến cố đầy đủ $B_1, B_2, \dots, B_n$ và biến cố $A$ với $P(A) > 0$ . Với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ , ta có:

$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}.$

Ý nghĩa: Công thức Bayes cho phép tính xác suất hậu nghiệm $P(B_k|A)$ (xác suất xảy ra nguyên nhân $B_k$ ) khi đã quan sát thấy kết quả $A$ xuất hiện.

Ví dụ minh họa 3 Ứng dụng công thức Bayes trong chẩn đoán y khoa

Bài toán: Một bệnh hiểm nghèo $X$ có tỉ lệ người mắc trong cộng đồng là $1\%$ ( $0{,}01$ ). Để sàng lọc bệnh, người ta sử dụng một xét nghiệm y khoa:

Nếu người được xét nghiệm mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính ( $+$ ) là $95\%$ ( $P(+|B) = 0{,}95$ ).
Nếu người được xét nghiệm không mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính giả ( $+$ ) là $5\%$ ( $P(+|\overline{B}) = 0{,}05$ ).

Một người trong cộng đồng đi xét nghiệm và nhận kết quả dương tính ( $+$ ). Hãy tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh $P(B|+)$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi $B$ là biến cố: "Người được xét nghiệm mắc bệnh $X$ ".

Ta có $P(B) = 0{,}01 \Rightarrow P(\overline{B}) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$ .

Gọi $A$ là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính ( $+$ )".

Theo giả thiết:

$P(A|B) = 0{,}95, \quad P(A|\overline{B}) = 0{,}05.$

Bước 1: Tính xác suất xét nghiệm dương tính $P(A)$ theo công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})$

$= 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059.$

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất thực sự mắc bệnh khi đã có kết quả dương tính:

$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} = \frac{95}{590} = \frac{19}{118} \approx 0{,}1610.$

Kết luận: Xác suất người nhận kết quả dương tính thực sự mắc bệnh là $\frac{19}{118} \approx 16{,}1\%$ .

🌟 Ghi nhớ kiến thức trọng tâm

Xác suất có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ( $P(B) > 0$ ), biểu thị xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra.
Công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$ . Nếu $A, B$ độc lập thì $P(A|B) = P(A)$ và $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .
Công thức xác suất toàn phần: Với hệ biến cố đầy đủ $\{B, \overline{B}\}$ , ta có $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})$ .
Công thức Bayes: Cập nhật xác suất tiên nghiệm thành xác suất hậu nghiệm: $P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}$ .

Câu hỏi ôn tập & củng cố kiến thức

Vì sao khi xét nghiệm có độ chính xác 95% nhưng người có kết quả dương tính chỉ có xác suất mắc bệnh khoảng 16%?

Đây là hiện tượng nghịch lý xác suất do tỉ lệ mắc bệnh trong cộng đồng quá nhỏ (chỉ 1%). Số người không mắc bệnh chiếm tới 99%, nên dù tỉ lệ dương tính giả chỉ 5% thì số ca dương tính giả (0,0495) vẫn gấp hơn 5 lần số ca dương tính thật (0,0095).

Hệ biến cố đầy đủ cần thỏa mãn những điều kiện gì?

Hệ

B_1, B_2, \dots, B_n

là hệ đầy đủ khi và chỉ khi: Các biến cố đôi một xung khắc (

B_i \cap B_j = \emptyset

với

i \ne j

), hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu

\Omega

, và xác suất mỗi biến cố

P(B_i) > 0

Phân biệt xác suất P(A|B) và P(B|A) như thế nào?

P(A|B)

là xác suất của biến cố

A

khi biết

B

đã xảy ra (thông tin

B

là điều kiện). Ngược lại,

P(B|A)

là xác suất của

B

khi biết

A

đã xảy ra. Hai xác suất này thường khác nhau và liên hệ qua công thức Bayes.

Luyện đề thực chiến

Đề kiểm tra trắc nghiệm: Xác suất có điều kiện

5 đề theo 5 cấp độ, mỗi đề 22 câu · 90 phút, chỉ gồm kiến thức trong chuyên đề này. Chấm điểm ngay sau khi nộp.

Vào luyện đề ngay →