Chuyên đề: Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân & Thống kê nhóm — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$ với $n \ge 1$:

$$u_{n+1} - u_n = \frac{2(n+1) + 1}{(n+1) + 2} - \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{2n + 3}{n + 3} - \frac{2n + 1}{n + 2}.$$

Quy đồng mẫu số:

$$u_{n+1} - u_n = \frac{(2n + 3)(n + 2) - (2n + 1)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \frac{(2n^2 + 7n + 6) - (2n^2 + 7n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \frac{3}{(n + 3)(n + 2)}.$$

Vì $n \ge 1$ nên $(n + 3)(n + 2) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n > 0 \Leftrightarrow u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Ta biến đổi số hạng tổng quát:

$$u_n = \frac{2(n + 2) - 3}{n + 2} = 2 - \frac{3}{n + 2}.$$

Vì $n \ge 1$ nên $n + 2 \ge 3 \Rightarrow 0 < \frac{3}{n + 2} \le 1$. Do đó:

$$2 - 1 \le 2 - \frac{3}{n + 2} < 2 \Leftrightarrow 1 \le u_n < 2, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $1$ và bị chặn trên bởi $2$, do đó $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

a) Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$$u_{15} = u_1 + (15 - 1)d = 3 + 14 \cdot 4 = 3 + 56 = 59.$$

Tổng $20$ số hạng đầu của cấp số cộng:

$$S_{20} = \frac{20 \cdot [2u_1 + (20 - 1)d]}{2} = 10 \cdot [2 \cdot 3 + 19 \cdot 4] = 10 \cdot [6 + 76] = 820.$$

b) Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:

$$v_6 = v_1 \cdot q^{6 - 1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486.$$

Tổng $6$ số hạng đầu của cấp số nhân ($q = 3 \ne 1$):

$$S_6 = \frac{v_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{2(1 - 3^6)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 729)}{-2} = 728.$$

Kết luận: $u_{15} = 59, S_{20} = 820$; $v_6 = 486, S_6 = 728$.

Xác định giá trị đại diện $c_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ cho từng nhóm:

• Nhóm $[20; 40)$: $c_1 = 30$, tần số $m_1 = 6$.
• Nhóm $[40; 60)$: $c_2 = 50$, tần số $m_2 = 14$.
• Nhóm $[60; 80)$: $c_3 = 70$, tần số $m_3 = 25$.
• Nhóm $[80; 100)$: $c_4 = 90$, tần số $m_4 = 18$.
• Nhóm $[100; 120)$: $c_5 = 110$, tần số $m_5 = 7$.

Tổng cỡ mẫu $n = 6 + 14 + 25 + 18 + 7 = 70$.

Thời gian tự học trung bình là:

$$\overline{x} = \frac{6 \cdot 30 + 14 \cdot 50 + 25 \cdot 70 + 18 \cdot 90 + 7 \cdot 110}{70} = \frac{180 + 700 + 1750 + 1620 + 770}{70} = \frac{5020}{70} \approx 71{,}71\text{ (phút)}.$$

Kết luận: Thời gian tự học trung bình xấp xỉ $71{,}71$ phút/ngày.

Lập bảng tần số tích lũy $cf_i$:

$cf_1 = 6$; $cf_2 = 20$; $cf_3 = 45$; $cf_4 = 63$; $cf_5 = 70$.

1. Tính Trung vị $M_e$: Ta có $\frac{n}{2} = 35$. Vì $cf_2 = 20 < 35 \le cf_3 = 45$ nên nhóm chứa trung vị là $[60; 80)$.

Áp dụng công thức với $u_m = 60, u_{m+1} = 80, C = 20, m_m = 25$:

$$M_e = 60 + \frac{35 - 20}{25} \cdot (80 - 60) = 60 + \frac{15}{25} \cdot 20 = 60 + 12 = 72\text{ (phút)}.$$

2. Tính Tứ phân vị $Q_1$: Ta có $\frac{n}{4} = 17{,}5$. Vì $cf_1 = 6 < 17{,}5 \le cf_2 = 20$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[40; 60)$.

$$Q_1 = 40 + \frac{17{,}5 - 6}{14} \cdot (60 - 40) = 40 + \frac{11{,}5}{14} \cdot 20 = 40 + \frac{115}{7} = \frac{395}{7} \approx 56{,}43\text{ (phút)}.$$

3. Tính Tứ phân vị $Q_3$: Ta có $\frac{3n}{4} = 52{,}5$. Vì $cf_3 = 45 < 52{,}5 \le cf_4 = 63$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[80; 100)$.

$$Q_3 = 80 + \frac{52{,}5 - 45}{18} \cdot (100 - 80) = 80 + \frac{7{,}5}{18} \cdot 20 = 80 + \frac{25}{3} = \frac{265}{3} \approx 88{,}33\text{ (phút)}.$$

4. Tính Mốt $M_o$: Nhóm có tần số lớn nhất là $[60; 80)$ với $m_3 = 25$ ($m_2 = 14, m_4 = 18$).

$$M_o = 60 + \frac{25 - 14}{(25 - 14) + (25 - 18)} \cdot (80 - 60) = 60 + \frac{11}{11 + 7} \cdot 20 = 60 + \frac{110}{9} = \frac{650}{9} \approx 72{,}22\text{ (phút)}.$$

Kết luận: $M_e = 72$ phút; $Q_1 \approx 56{,}43$ phút; $Q_3 \approx 88{,}33$ phút; $M_o \approx 72{,}22$ phút.