Chuyên đề: Xác suất & Đạo hàm — Lý thuyết và Phương pháp giải

Gọi $A$ là biến cố "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng", $P(A) = 0{,}8 \implies P(\overline{A}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

Gọi $B$ là biến cố "Xạ thủ thứ hai bắn trúng", $P(B) = 0{,}7 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.

Vì hai xạ thủ bắn độc lập nên các cặp biến cố $(A, B), (A, \overline{B}), (\overline{A}, B), (\overline{A}, \overline{B})$ đều độc lập.

a) Xác suất để cả hai xạ thủ cùng bắn trúng:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56.$$

b) Gọi $C$ là biến cố "Có đúng một xạ thủ bắn trúng bia". Khi đó $C = (A \overline{B}) \cup (\overline{A} B)$.

Vì hai biến cố $A \overline{B}$ và $\overline{A} B$ xung khắc nhau nên:

$$P(C) = P(A \overline{B}) + P(\overline{A} B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$$

$$= 0{,}8 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38.$$

c) Gọi $D$ là biến cố "Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia". Biến cố đối $\overline{D}$ là "Cả hai xạ thủ đều bắn trượt" ($\overline{D} = \overline{A} \, \overline{B}$).

$$P(\overline{D}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06.$$

Suy ra: $P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94$.

Kết luận: a) $0{,}56$; b) $0{,}38$; c) $0{,}94$.

a) Ta có $f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$.

Xét giới hạn tỉ số số gia:

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 3x) - (-2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}.$$

Phân tích tử số thành nhân tử $(x - 2)(x - 1)$:

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1.$$

b) Ta có hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x + 2$. Điểm $M(2; 4)$ thuộc đồ thị vì $f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 4$.

Tính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 3$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0 = 2$ là: $k = y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2; 4)$ là:

$$y - 4 = 9(x - 2) \Leftrightarrow y = 9x - 18 + 4 \Leftrightarrow y = 9x - 14.$$

Kết luận: a) $f'(2) = 1$; b) Tiếp tuyến là $y = 9x - 14$.

a) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(u^4)' = 4u^3 \cdot u'$ với $u = 2x^3 - 3x + 1$ ($u' = 6x^2 - 3$):

$$y' = 4(2x^3 - 3x + 1)^3 \cdot (6x^2 - 3) = 12(2x^2 - 1)(2x^3 - 3x + 1)^3.$$

b) Áp dụng công thức đạo hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$:

$$y' = \frac{2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{6 + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}.$$

c) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp lượng giác:

$$[\sin^2(3x)]' = 2\sin(3x) \cdot [\sin(3x)]' = 2\sin(3x) \cdot [3\cos(3x)] = 3(2\sin 3x \cos 3x) = 3\sin(6x).$$

$$[\cos(2x)]' = -(2x)' \cdot \sin(2x) = -2\sin(2x).$$

Do đó: $y' = 3\sin(6x) - 2\sin(2x)$.

d) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích $(uv)' = u'v + uv'$:

$$y' = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})' = 2x e^{2x} + x^2 \cdot (2e^{2x}) = 2x(1 + x)e^{2x}.$$

Kết luận: Đạo hàm của các hàm số đã được tính chính xác.

a) Phương trình vận tốc tức thời của vật là đạo hàm cấp một của quãng đường:

$$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \quad (\text{m/s}).$$

Phương trình gia tốc tức thời của vật là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$$a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 12 \quad (\text{m/s}^2).$$

Tại thời điểm $t = 3\text{ s}$:

$$v(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\text{ (m/s)}.$$

$$a(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6\text{ (m/s}^2).$$

b) Vận tốc của vật triệt tiêu khi $v(t) = 0$:

$$3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow 3(t^2 - 4t + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 3 \end{array}\right. \text{ (giây)}.$$

Tính gia tốc tại hai thời điểm này:

Tại $t = 1\text{ s}$: $a(1) = 6(1) - 12 = -6\text{ m/s}^2$ (vật đang giảm tốc).

Tại $t = 3\text{ s}$: $a(3) = 6(3) - 12 = 6\text{ m/s}^2$ (vật đang tăng tốc).

Kết luận: Tại $t = 3\text{ s}$ thì $v = 0\text{ m/s}, a = 6\text{ m/s}^2$; tại các thời điểm $v = 0$ thì gia tốc lần lượt là $-6\text{ m/s}^2$ ($t = 1\text{ s}$) và $6\text{ m/s}^2$ ($t = 3\text{ s}$).