Chuyên đề: Giới hạn, Hàm số liên tục, Mũ & Lôgarit — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$$L_1 = \lim \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}.$$

b) Phân tích tử số thành nhân tử $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$:

$$L_2 = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = 2 - 3 = -1.$$

c) Dạng vô định $\frac{0}{0}$, nhân liên hợp lượng $(\sqrt{x + 3} + 2)$:

$$L_3 = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}.$$

Kết luận: $L_1 = \frac{3}{2}, L_2 = -1, L_3 = \frac{1}{4}$.

a) Ta có $f(2) = 5$. Tính giới hạn của $f(x)$ khi $x \to 2$:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.$$

Vì $\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \ne f(2) = 5$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục (gián đoạn) tại điểm $x_0 = 2$.

b) Đặt $g(x) = x^3 - 3x + 1$. Hàm số $g(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên mọi đoạn con của nó.

Tính giá trị của $g(x)$ tại các mốc điểm:

• $g(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$.
• $g(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1 > 0 \implies g(-2) \cdot g(0) < 0 \implies$ có ít nhất $1$ nghiệm $x_1 \in (-2; 0)$.
• $g(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1 < 0 \implies g(0) \cdot g(1) < 0 \implies$ có ít nhất $1$ nghiệm $x_2 \in (0; 1)$.
• $g(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \implies g(1) \cdot g(2) < 0 \implies$ có ít nhất $1$ nghiệm $x_3 \in (1; 2)$.

Vì ba khoảng $(-2; 0), (0; 1), (1; 2)$ đôi một không giao nhau và đều nằm trong $(-2; 2)$ nên phương trình đã cho có ít nhất $3$ nghiệm thực phân biệt trong khoảng $(-2; 2)$.

Kết luận: Phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong $(-2; 2)$.

Áp dụng công thức đổi cơ số sang cơ số $2$:

$$P = \log_{15} 30 = \frac{\log_2 30}{\log_2 15}.$$

Phân tích các số $30$ và $15$ ra thừa số nguyên tố:

Tử số: $\log_2 30 = \log_2 (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 1 + a + b$.

Mẫu số: $\log_2 15 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 3 + \log_2 5 = a + b$.

Do đó:

$$P = \frac{1 + a + b}{a + b}.$$

Kết luận: $\log_{15} 30 = \frac{1 + a + b}{a + b}$.

a) Ta có:

$$2^{x+1} + 2^{x-1} = 10 \Leftrightarrow 2^x \cdot 2 + 2^x \cdot \frac{1}{2} = 10 \Leftrightarrow 2^x \left(2 + \frac{1}{2}\right) = 10$$

$$\Leftrightarrow 2^x \cdot \frac{5}{2} = 10 \Leftrightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Leftrightarrow x = 2.$$

b) Điều kiện xác định: $\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 2$.

Phương trình tương đương:

$$\log_3[(2x - 1)(x - 2)] = 1 \Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) = 3^1$$

$$\Leftrightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 3 \Leftrightarrow 2x^2 - 5x - 1 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Đối chiếu điều kiện $x > 2$, ta chỉ nhận nghiệm $x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$.

c) Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Vì cơ số $0 < 0{,}5 < 1$ nên bất phương trình đổi chiều:

$$\log_{0{,}5}(x - 1) \ge -2 \Leftrightarrow x - 1 \le (0{,}5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \Leftrightarrow x \le 5.$$

Kết hợp điều kiện $x > 1$, ta được tập nghiệm là $S = (1; 5]$.

Kết luận: a) $x = 2$; b) $x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$; c) $x \in (1; 5]$.