Chuyên đề: Hàm số và Phương trình lượng giác — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên $\sin \alpha > 0$. Ta có:

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Suy ra:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}; \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{3}{4}.$$

b) Thay các giá trị vào biểu thức $P$:

Tử số: $2\sin \alpha - 3\cos \alpha = 2\left(\frac{4}{5}\right) - 3\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{8}{5} + \frac{9}{5} = \frac{17}{5}$.

Mẫu số: $\tan \alpha + \cot \alpha = -\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = -\frac{25}{12}$.

Do đó: $P = \frac{17/5}{-25/12} = -\frac{204}{125}$.

Kết luận: $P = -\frac{204}{125}$.

a) Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho cả tử và mẫu:

$$\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin 2x \cos x.$$

$$\cos 3x + \cos x = 2\cos\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 2\cos 2x \cos x.$$

Khi đó:

$$A = \frac{2\sin 2x \cos x}{2\cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x.$$

b) Áp dụng công thức biến đổi hiệu hai sin thành tích:

$$B = \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} = 2\cos\left(\frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2}\right).$$

Ta có:

$$\frac{7\pi/12 + \pi/12}{2} = \frac{8\pi/12}{2} = \frac{\pi}{3}; \quad \frac{7\pi/12 - \pi/12}{2} = \frac{6\pi/12}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Do đó:

$$B = 2\cos\frac{\pi}{3} \sin\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Kết luận: $A = \tan 2x$ và $B = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

a) Vì biểu thức $\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ luôn xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

b) Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có:

$$-1 \le \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1.$$

Nhân cả ba vế với $3 > 0$ và cộng thêm $1$:

$$3 \cdot (-1) + 1 \le 3\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 \le 3 \cdot 1 + 1$$

$$\Leftrightarrow -2 \le y \le 4.$$

Do đó:

Giá trị lớn nhất $M = 4$ khi $\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Giá trị nhỏ nhất $m = -2$ khi $\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{8} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Kết luận: $M = 4$ và $m = -2$.

a) Ta có:

$$2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}.$$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin:

$$\left[\begin{array}{l} x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) Ta có:

$$\cos 2x = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = x - \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = -\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + k2\pi \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 3x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Kết luận: Phương trình a) có nghiệm $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi, x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$; phương trình b) có nghiệm $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$).