Chuyên đề: Quan hệ song song trong không gian — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:

Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất giữa $(SAC)$ và $(SBD)$.

Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$. Vì $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$:

Ta có $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$.

Mặt khác, trong đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$, với $AB \subset (SAB)$ và $CD \subset (SCD)$.

Theo định lí giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$.

Kết luận: $(SAC) \cap (SBD) = SO$; $(SAB) \cap (SCD) = d$ qua $S$ và $d \parallel AB \parallel CD$.

Trong tam giác $ABC$, ta có $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $BC$, do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Suy ra: $MN \parallel AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC$ (1).

Trong tam giác $ADC$, ta có $Q$ là trung điểm của $AD$ và $P$ là trung điểm của $CD$, do đó $QP$ là đường trung bình của tam giác $ADC$.

Suy ra: $QP \parallel AC$ và $QP = \frac{1}{2}AC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $MN \parallel QP$ và $MN = QP$.

Tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MNPQ$ là một hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

a) Trong tam giác $SAB$, vì $M, N$ là trung điểm của $SA, SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$.

Suy ra $MN \parallel AB$.

Ta có: $\begin{cases} MN \not\subset (ABCD) \\ AB \subset (ABCD) \\ MN \parallel AB \end{cases} \implies MN \parallel (ABCD)$.

b) Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$.

Lại có $MN \parallel AB \implies MN \parallel CD$.

Ta có: $\begin{cases} MN \not\subset (SCD) \\ CD \subset (SCD) \\ MN \parallel CD \end{cases} \implies MN \parallel (SCD)$.

Kết luận: $MN \parallel (ABCD)$ và $MN \parallel (SCD)$.

Vì $(\alpha) \parallel (SAB)$ nên $(\alpha)$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(SAB)$, tức là $(\alpha) \parallel AB, SA, SB$.

1. Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $AD$ tại $E$ và cắt $BC$ tại $F$. Do $O$ là tâm hình bình hành nên $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$. Đoạn giao tuyến thứ nhất là $EF$.

2. Trong mặt phẳng $(SAD)$, qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $SA$, cắt $SD$ tại $P$. Vì $E$ là trung điểm của $AD$ nên $P$ là trung điểm của $SD$. Đoạn giao tuyến thứ hai là $EP$.

3. Trong mặt phẳng $(SBC)$, qua $F$ kẻ đường thẳng song song với $SB$, cắt $SC$ tại $Q$. Vì $F$ là trung điểm của $BC$ nên $Q$ là trung điểm của $SC$. Đoạn giao tuyến thứ ba là $FQ$.

4. Nối $P$ và $Q$, trong tam giác $SCD$ có $P, Q$ là trung điểm của $SD, SC$ nên $PQ \parallel CD \parallel AB$.

Thiết diện tạo thành là tứ giác $EFQP$. Tứ giác này có $EF \parallel PQ$ (cùng song song với $AB$) nên $EFQP$ là một hình thang.

Kết luận: Thiết diện là hình thang $EFQP$.