Chuyên đề: Quan hệ vuông góc trong không gian — Lý thuyết và Phương pháp giải

a) Ta có:

$SA \perp (ABC) \implies SA \perp BC$ (vì $BC \subset (ABC)$).

Tam giác $ABC$ vuông tại $B \implies BC \perp AB$.

Trong mặt phẳng $(SAB)$, hai đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau tại $A$.

Suy ra: $BC \perp (SAB)$.

b) Vì $BC \perp (SAB)$ và $AH \subset (SAB)$ nên $BC \perp AH$.

Lại có $AH \perp SB$ (theo giả thiết).

Trong mặt phẳng $(SBC)$, hai đường thẳng $SB$ và $BC$ cắt nhau tại $B$.

Do đó: $AH \perp (SBC)$.

Vì $SC \subset (SBC)$ nên suy ra $AH \perp SC$.

Kết luận: $BC \perp (SAB)$ và $AH \perp SC$.

Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì hình chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$.

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a \implies AC = a\sqrt{2} \implies OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOA$:

$$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

a) Vì $SO \perp (ABCD)$ nên $OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên đáy $(ABCD)$.

Do đó: $(SA, (ABCD)) = (SA, OA) = \widehat{SAO}$.

$$\tan \widehat{SAO} = \frac{SO}{OA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 1 \implies \widehat{SAO} = 45^\circ.$$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Tam giác $SCD$ cân tại $S \implies SM \perp CD$.

Tam giác $OCD$ vuông cân tại $O \implies OM \perp CD$ và $OM = \frac{a}{2}$.

Giao tuyến của $(SCD)$ và $(ABCD)$ là $CD$.

Suy ra góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là $\varphi = \widehat{SMO}$.

Trong tam giác vuông $SOM$:

$$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

$$\cos \varphi = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Kết luận: Góc giữa $SA$ và đáy bằng $45^\circ$; cosin góc giữa $(SCD)$ và đáy bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM \perp BC$ và $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$. Mà $AM \perp BC \implies BC \perp (SAM)$.

Trong mặt phẳng $(SAM)$, kẻ $AK \perp SM$ tại $K$.

Vì $BC \perp (SAM) \implies BC \perp AK$. Do đó $AK \perp (SBC)$, tức là $d(A, (SBC)) = AK$.

Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$:

$$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{(a\sqrt{3})^2} + \frac{1}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}.$$

$$AK = \sqrt{\frac{3a^2}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}.$$

b) Ta có $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AM$. Lại có $AM \perp BC$ tại $M$.

Do đó đoạn thẳng $AM$ vừa vuông góc với $SA$, vừa vuông góc với $BC$. Vậy $AM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$.

Suy ra: $d(SA, BC) = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Kết luận: $d(A, (SBC)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}$ và $d(SA, BC) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

a) Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a \implies S_{ABCD} = a^2$ và $AC = a\sqrt{2}$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên đáy $\implies (SC, (ABCD)) = \widehat{SCA} = 45^\circ$.

Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A \implies SA = AC = a\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$$

b) Xét khối chóp tam giác $S.ABD$. Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $S_{ABD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$.

Suy ra: $V_{S.ABD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho hình chóp tam giác $S.ABM$ và $S.ABD$:

$$\frac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABD}} = \frac{SA}{SA} \cdot \frac{SB}{SB} \cdot \frac{SM}{SD} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

$$V_{S.ABM} = \frac{1}{2}V_{S.ABD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$$

Kết luận: $V_{S.ABCD} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$ và $V_{S.ABM} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.