Toán học lớp 12 · KNTT · Chương 1

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá toàn bộ định nghĩa, tính chất, hình vẽ minh họa trực quan, công thức KaTeX chuẩn và câu hỏi củng cố có lời giải chi tiết.

Lớp

10 11 12

Môn

Toán học Vật lý Hóa học Ngữ văn Tiếng Anh Sinh học Lịch sử Địa lý Giáo dục kinh tế & pháp luật Tin học Công nghệ

I. Tính đơn điệu của hàm số

•Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số, suy ra:

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

• Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

Chú ý:

- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f'(x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.

- Người ta chứng minh được rằng, nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x³ – 2x² + x + 1.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = 3x² – 4x + 1.

Ta có y' > 0 khi $x \in ( - \infty ; \frac{1}{3} ) \cup ( 1 ; + \infty )$ và y' < 0 khi $x \in ( \frac{1}{3} ; 1 )$ .

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty ; \frac{1}{3} )$ và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng $( \frac{1}{3} ; 1 )$ .

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{5 - 2x}{x + 3}$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

Có $y ' = \frac{( 5 - 2x ) ' . ( x + 3 ) - ( 5 - 2x ) . ( x + 3 ) '}{( x + 3 )^{2}} = - \frac{11}{( x + 3 )^{2}} < 0$ với mọi x ≠ −3.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞).

II. Cực trị của hàm số

• Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈ (a; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và y_CT = y(−1) = −2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = −1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = −2.

• Mối liên hệ giữa đạo hàm và cực trị

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm cực trị của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = y(2) = 1.

• Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f(x):

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ – 4x² – 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = 4x³ – 8x; y' = 0 $\Leftrightarrow$ $x = - \sqrt{2}$ hoặc x = 0 hoặc $x = \sqrt{2}$ .

Từ bảng biến thiên, ta có:

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = −3.

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - \sqrt{2}$ và $y_{CT} = y ( - \sqrt{2} ) = - 7$ .

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \sqrt{2}$ và $y_{CT} = y ( \sqrt{2} ) = - 7$ .

Chú ý:

Nếu f'(x₀) = 0 nhưng f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số f(x) = x³ có f'(x) = 3x², f'(0) = 0, nhưng x = 0 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = x³ + 3x² – 9x + 15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

B. Hàm số đồng biến trên (−9; −5).

C. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. Hàm số đồng biến trên (5; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 3x² + 6x – 9; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −3) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

Bài 2. Hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 4x³ – 4x; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và y_CT = 0.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 1.

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

a) y = x³ – 3x; b) $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ .

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 3x² – 3; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

b) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Có $y ' = \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2x - 1 )}{( x - 1 )^{2}} = \frac{- 1}{( x - 1 )^{2}} < 0 , \forall x \ne 1$ .

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Bài 4. Tìm cực trị của các hàm số sau

a) $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ ; b) y = 2x⁴ – 4x² + 2022.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $y ' = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2x + 3 )}{( x + 1 )^{2}} = \frac{- 1}{( x + 1 )^{2}} < 0 , \forall x \ne - 1$ .

Do đó hàm số không có cực trị.

b) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 8x³ – 8x; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 2022.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và y_CT = 2020.

Bài 5. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G(x) = 0,024x²(30 – x), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = (0; 30).

Có G'(x) = 0,048x(30 – x) – 0,024x² = 0,024x(60 – 3x);

G'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là x = 20 mg.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

Định lý về tính đơn điệu: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ . Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số đồng biến trên $K$ ; nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì hàm số nghịch biến trên $K$ . Nếu $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm và $f'(x) \ge 0$ (hoặc $\le 0$ ) trên $K$ thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$ .
Định nghĩa cực trị: Điểm $x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y = f(x)$ nếu tồn tại $(a; b) \subset D$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0), \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ ; khi đó $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại. Tương tự cho điểm cực tiểu với $f(x) > f(x_0)$ .
Điều kiện cần để có cực trị: Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại $x_0$ thì $f'(x_0) = 0$ . Các điểm mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc đạo hàm không xác định gọi là điểm tới hạn.
Điều kiện đủ để có cực trị: Dấu hiệu 1: Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Dấu hiệu 2: Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là cực đại; nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là cực tiểu.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Điều kiện để hàm số bậc ba

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

(

a > 0

) đồng biến trên toàn trục số

\mathbb{R}

là gì?

Hàm số đồng biến trên

\mathbb{R}

khi và chỉ khi đạo hàm

y' = 3ax^2 + 2bx + c \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}

. Do

a > 0

, điều này tương đương với

\Delta'_{y'} = b^2 - 3ac \le 0

Phân biệt sự khác nhau giữa điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và giá trị cực trị?

- **Điểm cực trị của hàm số** là giá trị của biến số

x_0

(ví dụ: hàm số đạt cực đại tại

x = 1

). - **Giá trị cực trị của hàm số** là giá trị

y_0 = f(x_0)

(ví dụ: giá trị cực đại bằng

4

). - **Điểm cực trị của đồ thị hàm số** là điểm

M(x_0; y_0)

trong mặt phẳng tọa độ (ví dụ: đồ thị có điểm cực đại là

M(1; 4)

Nếu

f'(x_0) = 0

thì hàm số có nhất thiết đạt cực trị tại

x_0

không?

Không nhất thiết.

f'(x_0) = 0

chỉ là điều kiện cần. Để

x_0

là điểm cực trị, đạo hàm

f'(x)

phải **đổi dấu** khi

x

đi qua

x_0

. Ví dụ hàm số

y = x^3

có

y' = 3x^2 = 0

tại

x = 0

, nhưng

y' \ge 0

với mọi

x

, không đổi dấu khi qua

0

nên

x = 0

không phải là điểm cực trị.

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

y = x^3 - 3x^2 + 2

Tập xác định:

D = \mathbb{R}

. Đạo hàm

y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)

. Ta có

y' = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

. Bảng xét dấu:

y' > 0

trên

(-\infty; 0)

và

(2; +\infty)

nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này;

y' < 0

trên

(0; 2)

nên hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

. Hàm số đạt cực đại tại

x = 0, y_{CĐ} = 2

; đạt cực tiểu tại

x = 2, y_{CT} = -2

Đề luyện tập theo bài

Toán 12 KNTT: Chương 1 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Đề 1 Nhận biết15 câu hỏi · Nhận biết

Làm đề

Toán 12 KNTT: Chương 1 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Đề 2 Thông hiểu15 câu hỏi · Thông hiểu

Làm đề

Toán 12 KNTT: Chương 1 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Đề 3 Vận dụng15 câu hỏi · Vận dụng

Làm đề

Toán 12 KNTT: Chương 1 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Đề 4 Vận dụng cao15 câu hỏi · Vận dụng cao

Làm đề

Toán 12 KNTT: Chương 1 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Đề 5 Tổng hợp15 câu hỏi · Tổng hợp

Làm đề