Lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = ( x ; y ; z )$  và $\vec{b} = ( x^{'} ; y^{'} ; z^{'} )$ . Ta có:

+) $\vec{a} + \vec{b} = ( x + x^{'} ; y + y^{'} ; z + z^{'} )$ ;

+) $\vec{a} - \vec{b} = ( x - x^{'} ; y - y^{'} ; z - z^{'} )$ ;

+) $\vec{a} = ( kx ; ky ; kz )$  với k là một số thực.

Nhận xét: Vectơ $\vec{a} = ( x ; y ; z )$  cùng phương với vectơ $\vec{b} = ( x^{'} ; y^{'} ; z^{'} ) \ne \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho $\begin{cases} x = kx^{'} \\ y = ky^{'} \\ z = kz \end{cases}$ .

Ví dụ 1. Cho các vectơ $\vec{a} = ( - 2 ; - 3 ; 5 )$ , $\vec{b} = ( 3 ; 5 ; - 7 )$ . Tính $\vec{a} + \vec{b} ; \vec{a} - \vec{b} ; 3\vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{a} + \vec{b} = ( - 2 + 3 ; - 3 + 5 ; 5 - 7 ) = ( 1 ; 2 ; - 2 )$ .

$\vec{a} - \vec{b} = ( - 2 - 3 ; - 3 - 5 ; 5 + 7 ) = ( - 5 ; - 8 ; 12 )$ .

$\vec{3a} = ( - 6 ; - 9 ; 15 )$ .

• Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) và C(x_C; y_C; z_C). Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $( \frac{x_{A} + x_{B}}{2} ; \frac{y_{A} + y_{B}}{2} ; \frac{z_{A} + z_{B}}{2} )$ .

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $( \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} ; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} ; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} )$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho DABC có ba đỉnh A(2; 1; −3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của DABC nên $\begin{cases} x_{G} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \\ y_{G} = \frac{1 + 2 + 0}{3} = 1 \\ z_{G} = \frac{- 3 + 1 + 5}{3} = 1 \end{cases}$ .

Vậy G(3; 1; 1).

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = ( x ; y ; z )$ và $\vec{b} = ( x^{'} ; y^{'} ; z^{'} )$  được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = x . x^{'} + y . y^{'} + z . z^{'}$ .

Nhận xét:

- Hai vectơ $\vec{a}$  và $\vec{b}$  vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0.

- Nếu $\vec{a} = ( x ; y ; z )$  thì $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} . \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

- Nếu $\vec{a} = ( x ; y ; z )$  và $\vec{b} = ( x^{'} ; y^{'} ; z^{'} )$  là hai vectơ khác $\vec{0}$  thì $cos ( \vec{a} , \vec{b} ) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x . x ' + y . y ' + z . z '}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{{x'}^{2} + {y'}^{2} + {z'}^{2}}}$ .

Ví dụ 3. Cho $\vec{a} = ( 2 ; 3 ; 5 )$  và $\vec{b} = ( 7 ; 1 ; 8 )$ . Tính góc giữa hai vetơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = 2.7 + 3.1 + 5.8 = 57$ ; $| \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{38}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{7^{2} + 1^{2} + 8^{2}} = \sqrt{114}$ .

Có $cos ( \vec{a} , \vec{b} ) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{57}{\sqrt{38} . \sqrt{114}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ( \vec{a} , \vec{b} ) = 30^{^{\circ}}$ .

Chú ý: Nếu A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) thì

$= | \vec{AB} | = \sqrt{( x_{B} - x_{A} )^{2} + ( y_{B} - y_{A} )^{2} + ( z_{B} - z_{A} )^{2}}$ .

Đặc biệt, khi B trùng O thì ta nhận được công thức $OA = \sqrt{x_{A} + y_{A} + z_{A}}$ .

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(−5; −2; 5), B(−3; 4; 9), C(1; 2; 3). Tính diện tích của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Có $\vec{AB} = ( - 3 + 5 ; 4 + 2 ; 9 - 5 ) = ( 2 ; 6 ; 4 ) \Rightarrow | \vec{AB} | = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56}$ .

$\vec{AC} = ( 1 + 5 ; 2 + 2 ; 3 - 5 ) = ( 6 ; 4 ; - 2 ) \Rightarrow | \vec{AC} | = \sqrt{6^{2} + 4^{2} + ( - 2 )^{2}} = \sqrt{56}$ .

$\vec{BC} = ( 1 + 3 ; 2 - 4 ; 3 - 9 ) = ( 4 ; - 2 ; - 6 ) \Rightarrow | \vec{BC} | = \sqrt{4^{2} + ( - 2 )^{2} + ( - 6 )^{2}} = \sqrt{56}$

Nhận thấy AB = AC = BC. Do đó DABC đều.

Suy ra diện tích DABC là $AB^{2}\frac{\sqrt{3}}{4} = ( \sqrt{56} )^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = 14\sqrt{3}$ .

Ví dụ 5. Tính công sinh bởi lực $\vec{F} ( 20 ; 30 ; - 10 )$  (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển $\vec{d} = ( 150 ; 200 ; 100 )$  (đơn vị: m).

Hướng dẫn giải

Công sinh bởi lực $\vec{F}$  là $A = \vec{F} . \vec{d} = 20.150 + 30.200 + ( - 10 ) .100 = 8000$ J.