Lý thuyết Toán 12 Bài 12: Tích phân

• Diện tích hình thang cong

+) Hình thang cong: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đọan [a; b], gọi là một hình thang cong.

+) Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{x^{3}}{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Hướng dẫn giải

Một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^{3}}{3}$  là $F(x) = \frac{x^{4}}{12}$ .

Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là:

S = F(2) – F(1) = $\frac{2^{4}}{12} - \frac{1^{4}}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ .

• Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Chú ý

a) Hiệu F(b) – F(a) thường được kí hiệu là $F(x) | \begin{cases} b \\ a \end{cases}$ . Như vậy $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x) | \begin{cases} b \\ a \end{cases}$ .

b) Ta gọi $\int_{a}^{b}$   là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

c) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\int_{a}^{a}f(x)dx = 0 ; \int_{a}^{b}f(x)dx = - \int_{b}^{a}f(x)dx$ .

Ví dụ 2. Tính

a) $\int_{0}^{1}4x^{3}dx$ ;                                         b) $\int_{1}^{2}3^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int_{0}^{1}4x^{3}dx$ $= x^{4}|_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$ .

b) $\int_{1}^{2}3^{x}dx$ $= \frac{3^{x}}{ln3}|_{1}^{2} = \frac{3^{2}}{ln3} - \frac{3}{ln3} = \frac{6}{ln3}$ .

• Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\int_{a}^{b}f(x)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = $\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Ví dụ 3. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính $\int_{- 3}^{3}\sqrt{9 - x^{2}}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\int_{- 3}^{3}\sqrt{9 - x^{2}}dx = \frac{1}{2}\pi .3^{2} = \frac{9\pi }{2}$ .

1) $\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$  (k là hằng số);

2) $\int_{a}^{b}[f(x) + g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx$ ;

3) $\int_{a}^{b}[f(x) - g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx - \int_{a}^{b}g(x)dx$ ;

4) $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$  (a < c < b).

Ví dụ 4. Tính

a) $I = \int_{0}^{1}(4x^{3} - e^{x})dx$ ;                          b) $I = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1 + sinx)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $I = \int_{0}^{1}(4x^{3} - e^{x})dx$ $= \int_{0}^{1}4x^{3}dx - \int_{0}^{1}e^{x}dx$

$= x^{4}|_{0}^{1} - e^{x}|_{0}^{1} = 1 - e + 1 = 2 - e$ .

b) $I = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1 + sinx)dx$ $= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1dx + \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sinxdx$

$= x|_{0}^{\frac{\pi }{2}} - cosx|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ $= \frac{\pi }{2} + 1$ .

Bài tập Tích phân

Bài 1. Biết $\int_{1}^{5}f(x)dx = 4$ . Giá trị của $\int_{1}^{5}3f(x)dx$  bằng

A. 7.

B. $\frac{4}{3}$ .

C. 64.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có   $\int_{1}^{5}3f(x)dx = 3\int_{1}^{5}f(x)dx$ = 3.4 = 12.

Bài 2. Biết F(x) = x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của $\int_{1}^{2}(2 + f(x))dx$  bằng

A. $\frac{23}{4}$ .

B. 7.

C. 9.

D. $\frac{15}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int_{1}^{2}(2 + f(x))dx$ $= \int_{1}^{2}2dx + \int_{1}^{2}f(x)dx$

$= 2x|_{1}^{2} + F(x)|_{1}^{2}$ $= 2 + x^{3}|_{1}^{2}$  = 9.

Bài 3. Tính

a) $\int_{0}^{1}(3x + 1)(x + 3)dx$ ;                        b) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\frac{x}{2}dx$ .

Hướng dẫn giải

a)   $\int_{0}^{1}(3x + 1)(x + 3)dx$ $= \int_{0}^{1}(3x^{2} + 10x + 3)dx$

$= (x^{3} + 5x^{2} + 3x)|_{0}^{1}$ = 9.

b) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\frac{x}{2}dx$ $= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1 + cosx}{2}dx$ $= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}dx + \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{2}dx$

$= \frac{1}{2}(x + sinx)|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ $= \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} + 1)$ .

Bài 4. Tính $I = \int_{- 2}^{2}|x^{2} - 1|dx$ .

Hướng dẫn giải

$I = \int_{- 2}^{2}|x^{2} - 1|dx$ $= \int_{- 2}^{- 1}|x^{2} - 1|dx + \int_{- 1}^{1}|x^{2} - 1|dx + \int_{1}^{2}|x^{2} - 1|dx$

$= \int_{- 2}^{- 1}(x^{2} - 1)dx + \int_{- 1}^{1}(1 - x^{2})dx + \int_{1}^{2}(x^{2} - 1)dx$

$= (\frac{x^{3}}{3} - x)|_{- 2}^{- 1} + (x - \frac{x^{3}}{3})|_{- 1}^{1} + (\frac{x^{3}}{3} - x)|_{1}^{2}$

$= \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 4$

Bài 5. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc v_A(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc v_B(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

Hướng dẫn giải

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

v_A(t) = 0 $\Leftrightarrow$ 8 – 2t = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4 (s).

Quãng đường quả bóng A di chuyển là

$S_{A} = \int_{0}^{4}(8 - 2t)dt = (8t - t^{2})|_{0}^{4} = 16$  (m).

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

v_B(t) = 0 $\Leftrightarrow$ 12 – 4t = 0 $\Leftrightarrow$ t = 3 (s).

Quãng đường quả bóng B đi được là

$S_{B} = \int_{0}^{3}(12 - 4t)dt = (12t - 2t^{2})|_{0}^{3} = 18$  (m).

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn là:

S = S_A + S_B = 16 + 18 = 34 (m).