Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

– Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

– Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360°, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720°; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc –180°, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc –1,5.360° = –540°, …

Khi tia Om quay góc α° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo α°. Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ (Ou, Ov).

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.

Chú ý: Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360°.

Ví dụ: Cho góc hình học uOv có số đo 30° (như hình vẽ). Xác định số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ou).

Hướng dẫn giải

Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là sđ(Ou, Ov) = 30° + k360° (k ∈ ℤ).

– Các góc góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou có số đo là sđ(Ov, Ou) = –30° + k360° (k ∈ ℤ).

b) Hệ thức Chasles

Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k360° (k ∈ ℤ).

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:

Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ ℤ).

Ví dụ: Cho một góc lượng giác có sđ (Ox, Ou) = 120° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo 250°. Tính số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải

Ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° = 250° – 120° + k360° = 130°+ k360°.

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

– Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc 1° bằng $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn 1° = 60´; 1´ = 60".

– Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O).

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R.

Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết $\widehat{AOB} = 1 \text{rad}$ .

– Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài 2ℼR nên nó có số đo 2ℼ rad. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng 360° nên ta có 360° = 2ℼ rad.

Do đó ta viết $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{rad}$ và

Chú ý:

– Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi}{2}$ được hiểu là góc $\frac{\pi}{2}$ rad.

– Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ 0° đến 180°.

Ví dụ:

a) 50° = $50.\frac{\pi}{180} \text{=} \frac{5 \pi}{18}$

b)

b) Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo α rad thì có độ dài l = Rα.

Ví dụ:

Cung của đường tròn bán kính 2 cm và có số đo $\frac{\pi}{3}$ thì có độ dài l = 2. $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{2 \pi}{3}$ (cm).

a) Đường tròn lượng giác

– Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.

– Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo α (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM) = α.

Ví dụ: Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc có số đo –120° được xác định như trong hình sau:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

– Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của α, kí hiệu là cos α.

cosα = x.

– Tung độ y của điểm M được gọi là sin của α, kí hiệu là sin α.

sinα = y.

– Nếu cosα ≠ 0, tỉ số $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα.

$tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{y}{x} ( x \ne 0 )$ .

– Nếu sinα ≠ 0, tỉ số $\frac{cos \alpha}{sin \alpha}$ được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα.

$cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{x}{y} ( y \ne 0 )$ .

– Các giá trị cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là giá trị lượng giác của α.

Chú ý:

– Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

– Từ định nghĩa ta suy ra:

+ sinα, cosα xác định với mọi giá trị của α và ta có:

–1 ≤ sinα ≤ 1; –1 ≤ cosα ≤ 1;

sin (α + k2ℼ) = sinα; cos (α + k2ℼ) = cosα (k ∈ ℤ).

+ tanα xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + k \pi ( k ∈ ℤ )$

+ cotα xác định khi $\alpha \ne k \pi ( k ∈ ℤ )$ .

+ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{\pi}{3}$ .

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Hướng dẫn giải

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{\pi}{3}$ được xác định trong hình dưới đây.

b) Ta có:

$cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ ; $sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$tan\frac{\pi}{3} = \frac{sin\frac{\pi}{3}}{cos\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3}$ ; $cot\frac{\pi}{3} = \frac{cos\frac{\pi}{3}}{sin\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo và tìm giác trị lượng giác của góc.

– Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngược lại.

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính cos(–147°) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm).

b) Đổi $\frac{4}{9}$ rad sang độ.

Hướng dẫn giải

a) Ta bấm máy tính cầm tay như sau:

Máy tính hiển thị ra kết quả: –0.8386705679

Vậy cos(–147°) ≈ –0,83867.

b) Ta bấm máy tính cầm tay như sau:

Kết quả máy tính hiện ra 25°27’53.25’’

Vậy $\frac{4}{9}$ rad bằng 25°27’53,25’’.

a) Các công thức lượng giác cơ bản

sin² α + cos² α = 1

$1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha } \text{~(} \alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi , k \in \mathbb{Z} )$

$1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha } \text{~(} \alpha \ne k\pi , k \in \mathbb{Z} )$

tanα . cotα = 1 $( \alpha \ne \frac{k\pi }{2}\pi , k \in \mathbb{Z} )$

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết cosα = $\frac{4}{5}$ và 0 < α < 90°.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < 90° nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$sin \alpha = \sqrt{1-cos^{2} \alpha} = \sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ .

Do đó, $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$ và $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$ .

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

– Góc bù nhau (α và ℼ – α)

sin(ℼ – α) = sin α

cos(ℼ – α) = – cos α

tan(ℼ – α) = – tan α

cot(ℼ – α) = – cot α

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi}{2}- \alpha$ )

– Góc hơn kém ℼ (α và ℼ + α)

sin (ℼ + α) = – sin α

cos (ℼ + α) = – cos α

tan (ℼ + α) = tan α

cot (ℼ + α) = cot α

Chú ý: Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc α với $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ .

Ví dụ:

a) Tính

b) Rút gọn biểu thức:

Hướng dẫn giải

a)

b) Ta có:

Bài tập Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Trên một đường tròn có bán kính bằng 5 cm, tìm độ dài của cung có số đo $\frac{2 \pi}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có R = 5 cm; $\alpha = \frac{2 \pi}{3}$ . Suy ra l = Rα = $5.\frac{2 \pi}{3}$ ≈ 10,5 (cm).

Vậy độ dài cung tròn là 10,5 cm.

Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết sinα = $-\frac{2}{5}$ và $\frac{3 \pi}{2} < \alpha < 2 \pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3 \pi}{2} < \alpha < 2 \pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

Do đó, $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$ và $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

Bài 3. Tính

a)

b) tan(–780°).

Hướng dẫn giải

a)

b) tan(– 780°) = tan(–60° – 2.360°) = tan(–60°) = – tan60° = $-\sqrt{3}$ .

Bài 4. Dùng máy tính cầm tay để:

a) Đổi 56°32’ sang rađian.

b) Tính

Hướng dẫn giải

a) Để đổi 56°32’ sang rađian ta bấm lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 0,9866928038

Vậy 56°32’ bằng 0,9866928038 rađian.

b) Để tính

Màn hình hiển thị kết quả: 1,253960338

Vậy

Bảng tổng hợp giá trị lượng giác của các góc thường gặp trong giải toán: