Lý thuyết Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

• Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là $\lim_{x \to a^{+}}\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = f(a)$  và  $\lim_{x \to b^{-}}\frac{F(x) - F(b)}{x - b} = f(b)$ .

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x³ – 3x². Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?

$F(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3}$ ; $G(x) = \frac{x^{4}}{4} + x^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: F'(x) = x³ – 3x², G'(x) = x³ + 3x².

Vì F'(x) = f(x) với mọi x $\in$ ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).

• Họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x $\in$ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C $\in$ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f(x)dx$ .

Chú ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ trên ℝ. Từ đó hãy tìm $\int 5x^{4}dx$ .

Hướng dẫn giải

Vì (x⁵)' = 5x⁴ nên F(x) = x⁵ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Do đó $\int 5x^{4}dx = x^{5} + C$ .

• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

$\int kf(x)dx = k \int f(x)dx(k \ne 0)$ .

Ví dụ 3. Hãy tìm $\int \frac{1}{2}x^{3}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{2}x^{3}dx = \frac{1}{2} \int x^{3}dx = \frac{1}{2} . \frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}}{8} + C$ .

• Nguyên hàm của một tổng

$\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ .

$\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$ .

Ví dụ 4. Hãy tìm:

a) $\int (x - x^{2})dx$ ;                                   b) $\int (5x^{4} + 3x^{2})dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int (x - x^{2})dx$ $= \int xdx - \int x^{2}dx$ $= \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C$ .

b) $\int (5x^{4} + 3x^{2})dx$ $= 5 \int x^{4}dx + 3 \int x^{2}dx$ $= 5.\frac{x^{5}}{5} + 3.\frac{x^{3}}{3} + C$ $= x^{5} + x^{3} + C$ .

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+) Hàm số lũy thừa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.

- Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).

+) Hàm số lũy thừa y = x^α (α $\in$ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và $(x^{\alpha })^{'} = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C(\alpha \ne - 1)$ .

$\int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C$ .

Ví dụ 5. Hãy tìm:

a) $\int (\sqrt{x} - x^{2})dx$ ;                                b) $\int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int (\sqrt{x} - x^{2})dx$ $= \int \sqrt{x}dx - \int x^{2}dx$ $= \int x^{\frac{1}{2}}dx - \int x^{2}dx$

$= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{3} + C$ .

b) $\int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})dx$ $= \int \frac{1}{x}dx - \int \frac{1}{x^{2}}dx$ $= \int \frac{1}{x}dx - \int x^{- 2}dx$

$= ln|x| + \frac{1}{x} + C$ .

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int cosxdx = sinx + C$ ;

$\int sinxdx = - cosx + C$ ;

$\int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tanx + C$ ;

$\int \frac{1}{sin^{2}x}dx = - cotx + C$ .

Ví dụ 6. Hãy tìm:

a) $\int (2cosx + \frac{1}{sin^{2}x})dx$ ;         

b) $\int (\sqrt{2}sinx + \frac{2}{cos^{2}x})dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int (2cosx + \frac{1}{sin^{2}x})dx$ $= \int 2cosxdx + \int \frac{1}{sin^{2}x}dx$

$= 2sinx - cotx + C$ .

b) $\int (\sqrt{2}sinx + \frac{2}{cos^{2}x})dx$ $= \sqrt{2} \int sinxdx + 2 \int \frac{1}{cos^{2}x}dx$

$= - \sqrt{2}cosx + 2tanx + C$ .

• Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$ .

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna} + C(0 < a \ne 1)$ .

Ví dụ 7. Hãy tìm:

a) $\int (e^{x} - 2^{x})dx$ ;                                  b) $\int (x + \frac{1}{2^{x}})dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int (e^{x} - 2^{x})dx$ $= \int e^{x}dx - \int 2^{x}dx$ $= e^{x} - \frac{2^{x}}{ln2} + C$ .

b) $\int (x + \frac{1}{2^{x}})dx$ $= \int xdx + \int (\frac{1}{2})^{x}dx$ $= \frac{x^{2}}{2} + \frac{(\frac{1}{2})}{ln\frac{1}{2}}^{x} + C$

$= \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2^{x}ln2} + C$ .

Bài tập Nguyên hàm

Bài 1. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9^x + 3x² là:

A. F(x) = 9^x + x³.

B. F(x) = 9^xln9 + x³.

C. $F(x) = \frac{9^{x}}{ln9} + 6x$ .

D. $F(x) = \frac{9^{x}}{ln9} + x^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $F^{'}(x) = (\frac{9^{x}}{ln9} + x^{3})^{'} = 9^{x} + 3x^{2}$ nên $F(x) = \frac{9^{x}}{ln9} + x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9^x + 3x².

Bài 2. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int kf(x)dx = k \int f(x)dx , k \ne 0$ .

B. $\int f(x) . g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx$ .

C. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ .

D. $\int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ các tính chất của nguyên hàm, ta thấy đáp án B là sai.

Bài 3. Tìm

a) $\int (2x + e^{x})dx$ ;                                  b) $\int (sinx - cosx)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int (2x + e^{x})dx$ $= 2 \int xdx + \int e^{x}dx$ $= 2.\frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$

$= x^{2} + e^{x} + C$ .

b) $\int (sinx - cosx)dx$ $= \int sinxdx - \int cosxdx$

$= - cosx - sinx + C$ .

Bài 4. Tìm

a) $\int \frac{x^{2} + 2\sqrt{x} + 3}{x^{3}}dx$ ;                        b) $\int 10^{2x}dx$ ;                        c) $\int \frac{2^{x} - 1}{e^{x}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{x^{2} + 2\sqrt{x} + 3}{x^{3}}dx$ $= \int \frac{1}{x}dx + 2 \int x^{\frac{- 5}{2}}dx + 3 \int x^{- 3}dx$

$= ln|x| - \frac{4}{3}x^{\frac{- 3}{2}} - \frac{3}{2}x^{- 2} + C$ .

b) $\int 10^{2x}dx$ $= \int 100^{x}dx = \frac{100^{x}}{ln100} + C$ .

c)  $\int \frac{2^{x} - 1}{e^{x}}dx$ $= \int \frac{2^{x}}{e^{x}}dx - \int \frac{1}{e^{x}}dx$ $= \int (\frac{2}{e})^{x}dx - \int (\frac{1}{e})^{x}dx$

$= \frac{(\frac{2}{e})^{x}}{ln\frac{2}{e}} - \frac{(\frac{1}{e})^{x}}{ln\frac{1}{e}} + C$ $= \frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 - 1)} + \frac{1}{e^{x}} + C$

Bài 5. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc $a(t) = - \frac{1}{24}t^{3} + \frac{5}{16}t^{2}$ (m/s²), trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có $v(t) = \int a(t)dt = \int (- \frac{1}{24}t^{3} + \frac{5}{16}t^{2})dt$ $= - \frac{1}{96}t^{4} + \frac{5}{48}t^{3} + C$ .

Vì v(0) = 0 nên C = 0.

Do đó $v(t) = - \frac{1}{96}t^{4} + \frac{5}{48}t^{3}$ .

Vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là:

$v(5) = - \frac{1}{96}.5^{4} + \frac{5}{48}.5^{3} = \frac{625}{96} \approx 6 , 51$  (m/s).

Bảng tổng hợp đối chiếu giữa nguyên hàm của hàm số cơ bản $x$ và hàm số hợp $u = u(x)$: