Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường thẳng y = y₀ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\lim_{x \to + \infty }f ( x ) = y_{0}$ hoặc $\lim_{x \to - \infty }f ( x ) = y_{0}$ .

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{x - 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty }y = \lim_{x \to + \infty }\frac{2}{x - 1} = 0$ ; $\lim_{x \to - \infty }y = \lim_{x \to - \infty }\frac{2}{x - 1} = 0$ .

Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = + \infty ; \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = - \infty ; \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = - \infty ; \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = + \infty$

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 6}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 2^{+}}y = \lim_{x \to 2^{+}}\frac{3x + 6}{x - 2} = + \infty ; \lim_{x \to 2^{-}}y = \lim_{x \to 2^{-}}\frac{3x + 6}{x - 2} = - \infty$ .

Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\lim_{x \to + \infty }[f(x) - (ax + b)] = 0$  hoặc $\lim_{x \to - \infty }[f(x) - (ax + b)] = 0$ .

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = 2x + 1 - \frac{1}{x + 2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty }[f(x) - (2x + 1)] = \lim_{x \to + \infty }(- \frac{1}{x + 2}) = 0$ ;

$\lim_{x \to - \infty }[f(x) - (2x + 1)] = \lim_{x \to - \infty }(- \frac{1}{x + 2}) = 0$ .

Do đó y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chú ý:

Ta biết rằng nếu đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) thì $\lim_{x \to + \infty }[f(x) - (ax + b)] = 0$  hoặc $\lim_{x \to - \infty }[f(x) - (ax + b)] = 0$ .

Do đó $\lim_{x \to + \infty } [ f ( x ) - ( ax + b ) ] . \frac{1}{x} = 0$  hoặc $\lim_{x \to - \infty } [ f ( x ) - ( ax + b ) ] . \frac{1}{x} = 0$ .

Từ đây suy ra $a = \lim_{x \to + \infty }\frac{f(x)}{x}$  hoặc $a = \lim_{x \to - \infty }\frac{f(x)}{x}$ .

Khi đó, ta có $b = \lim_{x \to + \infty }[f(x) - ax]$  hoặc $b = \lim_{x \to - \infty }[f(x) - ax]$ .

Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x^{2} - 2x}{x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $a = \lim_{x \to + \infty }\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to + \infty }\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} + x} = 1$ ; $b = \lim_{x \to + \infty }[f(x) - x] = \lim_{x \to + \infty }\frac{- 3x}{x + 1} = - 3$ .

Tương tự $\lim_{x \to - \infty }\frac{f(x)}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to - \infty }[f(x) - x] = - 3$ .

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

Nhận xét:

Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong ví dụ 4, ta viết:

$y = f(x) = \frac{x^{2} - 2x}{x + 1} = x - 3 + \frac{3}{x + 1}$ .

Ta có $\lim_{x \to + \infty }[f(x) - (x - 3)] = \lim_{x \to + \infty }\frac{3}{x + 1} = 0$ ; $\lim_{x \to - \infty }[f(x) - (x - 3)] = \lim_{x \to - \infty }\frac{3}{x + 1} = 0$ .

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1. Đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 3x}{x + 2}$  có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. x = −2 và y = −3.                                      B. x = −2 và y = 1.

C. x = −2 và y = 3.                                        D. x = 2 và y = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $\lim_{x \to (- 2)^{+}}y = \lim_{x \to (- 2)^{+}}\frac{1 - 3x}{x + 2} = + \infty ; \lim_{x \to (- 2)^{-}}y = \lim_{x \to (- 2)^{-}}\frac{1 - 3x}{x + 2} = - \infty$

Do đó x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\lim_{x \to + \infty }y = \lim_{x \to + \infty }\frac{1 - 3x}{x + 2} = - 3 ; \lim_{x \to - \infty }y = \lim_{x \to - \infty }\frac{1 - 3x}{x + 2} = - 3$ .

Do đó y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau về hàm số y = f(x), mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

B. Hàm số nghịch biến trên ℝ.

C. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. Hàm số có một điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị

+) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

$\lim_{x \to (- 1)^{-}}y = \lim_{x \to (- 1)^{-}}\frac{2x + 1}{x + 1} = + \infty ; \lim_{x \to (- 1)^{+}}y = \lim_{x \to (- 1)^{+}}\frac{2x + 1}{x + 1} = - \infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty }y = \lim_{x \to + \infty }\frac{2x + 1}{x + 1} = 2 ; \lim_{x \to - \infty }y = \lim_{x \to - \infty }\frac{2x + 1}{x + 1} = 2$ .

Do đó đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $\lim_{x \to (- 1)^{+}}y = \lim_{x \to (- 1)^{+}}\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = + \infty ; \lim_{x \to (- 1)^{-}}y = \lim_{x \to (- 1)^{-}}\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = - \infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}$ .

Có  $\lim_{x \to + \infty }(y - x) = \lim_{x \to + \infty }(x + \frac{1}{x + 1} - x) = \lim_{x \to + \infty }\frac{1}{x + 1} = 0 ;$

$\lim_{x \to - \infty }(y - x) = \lim_{x \to - \infty }(x + \frac{1}{x + 1} - x) = \lim_{x \to - \infty }\frac{1}{x + 1} = 0$ .

Do đó đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 5. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người).

Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{t \to + \infty }f(t) = \lim_{t \to + \infty }\frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to + \infty }\frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = 26$ .

Do đó y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trên nửa khoảng [0; +∞) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.