Lý thuyết Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta$ ' tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a ; b ; c) , \vec{u^{'}} = (a^{'} ; b^{'} ; c^{'})$ . Khi đó:

$cos(\Delta , \Delta ^{'}) = |cos(\vec{u} , \vec{u^{'}})| = \frac{|aa^{'} + bb^{'} + cc^{'}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{{a^{\prime}}^{2} + {b^{\prime}}^{2} + {c^{\prime}}^{2}}}$

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 \end{cases}$  và d₂: $\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 \\ z = - 2 + t \end{cases}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1 ; 1 ; 0)$ .

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\vec{u^{'}} = (- 1 ; 0 ; 1)$ .

$cos(\Delta , \Delta ^{'}) = |cos(\vec{u} , \vec{u^{'}})| = \frac{|1.(- 1) + 1.0 + 0.1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{(- 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra ( $\Delta$ , $\Delta$ ') = 60°.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a ; b ; c)$  và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A ; B ; C)$ . Khi đó:

$sin(\Delta , (P)) = |cos(\vec{u} , \vec{n})| = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ : $\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z}{1}$  và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có đường thẳng $\Delta$  có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1 ; - 2 ; 1)$  và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (5 ; 11 ; 2)$ .

Có  $sin(\Delta , (P)) = |cos(\vec{u} , \vec{n})| = \frac{|1.5 + (- 2).11 + 1.2|}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} . \sqrt{5^{2} + 11^{2} + 2^{2}}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Suy ra ( $\Delta$ , (P)) = 30°.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A ; B ; C)$ , $\vec{n^{'}} = (A^{'} ; B^{'} ; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:

$cos((P) , (Q)) = |cos(\vec{n} , \vec{n^{'}})| = \frac{|AA^{'} + BB^{'} + CC^{'}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{{A^{\prime}}^{2} + {B^{\prime}}^{2} + {C^{\prime}}^{2}}}$ .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2 ; - 1 ; 2)$  và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n^{'}} = (1 ; 2 ; - 2)$ .

Ta có 

$cos((P) , (Q)) = |cos(\vec{n} , \vec{n^{'}})| = \frac{|2.1 + (- 1).2 + 2.(- 2)|}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{4}{9}$

Suy ra ((P), (Q)) ≈ 63,6°.

Bài tập Công thức tính góc trong không gian

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$  và d₂: $\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$ .

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁; d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1 ; - 1 ; 2) , \vec{u^{'}} = (- 1 ; 1 ; 1)$ .

Ta có 

$cos(\Delta , \Delta ^{'}) = |cos(\vec{u} , \vec{u^{'}})| = \frac{|1.(- 1) + (- 1).1 + 2.1|}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} . \sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0$

Suy ra ( $\Delta$ , $\Delta$ ') = 90°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $- \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

A. 60°.

B. 30°.

C. 120°.

D. 150°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- \sqrt{3} ; 1 ; 0)$ .

Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\vec{i} = (1 ; 0 ; 0)$ .

$sin(Ox , (P)) = |cos(\vec{u} , \vec{n})| = \frac{|1.(- \sqrt{3})|}{\sqrt{(- \sqrt{3})^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra (Ox, (P)) = 60°.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): −x + 2y + z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là $\vec{n} = (2 ; 11 ; - 5) , \vec{n^{'}} = (- 1 ; 2 ; 1)$ .

Ta có

$cos((P) , (Q)) = |cos(\vec{n} , \vec{n^{'}})| = \frac{|2.(- 1) + 11.2 + (- 5).1|}{\sqrt{2^{2} + 11^{2} + (- 5)^{2}} . \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Suy ra ((P), (Q)) = 60°.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x – y – 5 = 0, biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; −1; −2). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q).

Hướng dẫn giải

Vì OH ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận $\vec{OH} = (2 ; - 1 ; - 2)$  làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1 ; - 1 ; 0)$ .

Ta có 

$cos((P) , (Q)) = \frac{|2.1 + (- 1) . (- 1) + (- 2).0|}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}} . \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

Bài 5. Một công ty xây dựng đang thiết kế một tòa nhà mới. Để tối ưu hóa ánh sáng tự nhiên trong tòa nhà, họ cần xác định góc giữa ánh sáng mặt trời (được biểu diễn bằng một đường thẳng) và mặt phẳng của một bức tường kính. Giả sử rằng:

+) Bức tường kính được đặt trong mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 3y + z = 5.

+) Tia sáng mặt trời được biểu diễn bởi đường thẳng d có phương trình tham số $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$ .

Hãy tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2 ; - 3 ; 1)$ .

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2 ; - 1 ; 1)$ .

Ta có 

$sin(d , (\alpha )) = \frac{|2.2 + (- 3) . (- 1) + 1.1|}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}} . \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{84}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$

Suy ra (d, (α)) ≈ 60,8°.

Bảng so sánh chi tiết giữa 3 loại góc hình học trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$: