Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

‑ a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.

‑ a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

Ví dụ:

- Cho tập hợp A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15.

+ Ta mô tả tập hợp A bằng hai cách như sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14};

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phẩn tử: A = { n∈ ℕ| n ⁝ 2, 5 < n < 15}.

+ Tập hợp A có 5 phần tử, ta viết: n(A) = 5.

+ 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A.

+ 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A.

• Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅ .

Ví dụ:

+ Tập hợp các nghiệm của phương trình x² + 1 = 0 là tập rỗng;

+ Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) cỉa S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

Ví dụ: Cho các tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5}.

- Tập hợp T là tập con của tập hợp S (do mọi phần tử của T đều thuộc S).

- Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S (do có phần tử 4 thuộc M nhưng không thuộc S).

1.3. Hai tập hợp bằng nhau

- Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là S = T.

- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {n | n là bội chung của 2 và 3; n < 20} và T = {n | n là bội của 6; n < 20}.

Ta có: S = {0; 6; 12; 18};

T = {0; 6; 12; 18}.

Vậy S = T.

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N} = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \dots }$ .

- Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$  gồm các số tự nhiên và số nguyên âm:

$\mathbb{Z} = { \dots ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots }$ .

- Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$  gồm các số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ , với $a , b \in \mathbb{Z} , b \ne 0$ .

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số thực  $\mathbb{R}$  gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Mối quan hệ giữa các tập hợp số: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10}.

- Tập hợp B chứa số – 1 không phải là số tự nhiên nên B không là tập con của .

- Tập hợp B gồm các số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B là tập con của .

- Các số nguyên cũng là các số hữu tỉ và cũng là các số thực, nên B cũng là tập con của $\mathbb{Q}$  và $\mathbb{R}$ .

2.2. Các tập con thường dùng của   $\mathbb{R}$

- Một số tập con thường dùng của tập số thực $\mathbb{R}$ :

+ Khoảng:

$( a ; b ) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}$

  $( a ; + \infty ) = \{ a \in \mathbb{R} \mid x > a \}$

$( - \infty ; b ) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < b \}$

$( - \infty ; + \infty )$

+ Đoạn

$[ a ; b ] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$

+ Nửa khoảng

$[ a ; b ) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b \}$

$( a ; b ] = \{ x \in \mid \mathbb{R} a < x \le b \}$

$[ a ; + \infty ) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \}$

$( - \infty ; b ] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \le b \}$

‑ Kí hiệu + ∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

‑ Kí hiệu – ∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

‑ a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

Ví dụ:

+ Ta có: 5 < x ≤ 10 thì ta viết x ∈ (5; 10].

+ Ta có: D = {x $\in \mathbb{R}$ | x < 3} = (– ∞; 3).

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∩ T.

S ∩ T ={x | x ∈ S và x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: A = {5; 7; 8} và B = {1; 2; 4; 5; 8}.

Giao của 2 tập hợp trên là tập hợp C = A ∩ B = {5; 8}.

3.2. Hợp của hai tập hợp

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∪ T.

S ∪ T = {x | x ∈ S hoặc x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} và T = {2; 4; 6; 7}.

Tập hợp là hợp của hai tập hợp trên là K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

3.3. Hiệu của hai tập hợp

- Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S \ T.

S \ T = {x | x ∈ S và x ∉ T}.

- Nếu T ⊂ S thì S \ T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu C_ST.

Chú ý: .

Ví dụ:  Cho các tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x là các số nguyên dương nhỏ hơn 9}.

Ta có: S \ T = {1; 2; 3};

T \ S = {6; 9}.

Lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Vì mọi phần tử của tập S đều thuộc tập X nên S ⊂ X.

Phần bù của S trong X là X \ S = C_XS = {6}.

Bài tập Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Hãy viết tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử.

a) A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.

b) B là tập hợp các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ.

Hướng dẫn giải

a) Các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20 là: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau:

A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}.

Tập hợp A có 7 phần tử, ta viết n(A) = 7.

Ngoài ra ta cũng có thể viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là:

A = {x $\in \mathbb{N}$ | x ⁝ 3; x < 20}.

b) Các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ là: Thanh Hóa, Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị.

Do đó: B = {Thanh Hóa; Nghệ An; Hà Tĩnh; Quảng Bình; Quảng Trị}.

Tập hợp B có 5 phần tử, ta viết n(B) = 5.

Bài 2. Cho A = {3; 5}, B = {3; x}, C = {5; y} và D = {m; n}. Tìm x, y, m, n để A = B = C và $C \cap D = \emptyset$.

Hướng dẫn giải

+ Ta có: A = B = C khi mọi phần tử của A đều thuộc B và C.

Do đó: x = 5 và y = 3.

+ Để $C \cap D = \emptyset$ thì m và n phải khác 3 và 5.

Bài 3. Cho các tập hợp: $A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \ \vdots\ 3,\ x < 10 \}$ và $B = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \ \vdots\ 2,\ x < 10 \}$.

a) Viết tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

b) Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.

Hướng dẫn giải

a) Vì $A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \ \vdots\ 3,\ x < 10 \}$ nên A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 10.

Do đó: A = {0; 3; 6; 9}.

Vì $B = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \ \vdots\ 2,\ x < 10 \}$ nên B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và nhỏ hơn 10.

Do đó: B = {0; 2; 4; 6; 8}.

b) A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B} = {0; 6};

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9};

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B} = {3; 9};

B \ A = {x | x ∈ B và x ∉ A} = {2; 4; 8}.

Bài 4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) [– 3; 1) ∪ (0; 4];

b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞);

c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4];

d) $\mathbb{R}$ \ (2; + ∞).

Hướng dẫn giải

a) [– 3; 1) ∪ (0; 4] = [– 3; 4]

b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞) = (− 2; +∞)

c)(− 12; 3] ∩ [− 1; 4] = [− 1; 3]

d)  $\mathbb{R}$ \ (2; + ∞) = (− ∞; 2]

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tập hợp A gồm các số tự nhiên có 2 chữ số và chia hết cho 5. Biểu diễn tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.

Bài 2. Cho biết mỗi tập hợp sau có bao nhiêu tập hợp con, tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau:

a) A = {1; 2}

b) B = {1; 2; 3}

c) C = {x ∈ ℝ | 2x² – 5x + 2 = 0}

d) D = {x ∈ ℚ | x² – 4x + 2 = 0}

Bài 3. Tìm A ∩ B; A ∪ B; A \ B; B \ A với

a) A = {2; 4; 7; 8; 9; 12}; B = {2; 8; 9; 12}.

b) A = {x ∈ ℚ | 2x² – 3x + 1 = 0}; B = {x ∈ ℝ | |2x – 1| = 1}

Bài 4. Xác định các tập hợp A, B sao cho:

A ∩ B = {0; 1; 2; 3; 4}; A \ B = {–3; –2}; B \ A = {6; 9; 10}.

Bài 5. Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}; B = {1; 2; 3; 4};

C = {2; 4; 6; 8}. Hãy xác định: C_A B; C_A C; C_A (B ∪ C).

Học tốt Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Các bài học để học tốt Tập hợp và các phép toán trên tập hợp Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp