MasterSchool
Đăng nhậpHS

Toán học lớp 10 · KNTT · Chương 6

Lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá toàn bộ định nghĩa, tính chất, bảng biểu trực quan, công thức KaTeX chuẩn và câu hỏi củng cố có lời giải chi tiết.

Lớp
101112
Môn
Toán họcVật lýHóa họcNgữ vănTiếng AnhSinh họcLịch sửĐịa lýGiáo dục kinh tế & pháp luậtTin họcCông nghệ

I. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$

Phương pháp giải:

  1. Bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai: ax2+bx+c=dx2+ex+f  ⟺  (a−d)x2+(b−e)x+(c−f)=0ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f \iff (a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f) = 0.
  2. Giải phương trình bậc hai tìm các nghiệm xx.
  3. Thử lại: Thay các giá trị xx vừa tìm được vào phương trình gốc ban đầu xem biểu thức dưới căn có ≥0\ge 0 và hai vế có bằng nhau không.
  4. Kết luận tập nghiệm SS.

Ví dụ minh họa: Giải phương trình x2−3x+2=−x2+x+2\sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{-x^2 + x + 2}.

Lời giải:

Bình phương hai vế ta được: x2−3x+2=−x2+x+2  ⟺  2x2−4x=0  ⟺  2x(x−2)=0  ⟺  x=0x^2 - 3x + 2 = -x^2 + x + 2 \iff 2x^2 - 4x = 0 \iff 2x(x - 2) = 0 \iff x = 0 hoặc x=2x = 2.

Thử lại: Với x=0x = 0, hai vế bằng 2\sqrt{2} (thoả mãn). Với x=2x = 2, hai vế bằng 00 (thoả mãn). Vậy tập nghiệm là S={0;2}S = \{0; 2\}.

II. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$

Phương pháp giải:

  1. Bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả: ax2+bx+c=(dx+e)2=d2x2+2dex+e2ax^2 + bx + c = (dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de x + e^2.
  2. Thu gọn và giải phương trình bậc hai nhận được.
  3. Thử lại: Thay các nghiệm vào phương trình gốc hoặc so sánh với điều kiện dx+e≥0dx + e \ge 0 để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
  4. Kết luận nghiệm chính thức.

Ví dụ minh họa: Giải phương trình 2x2−5x−3=x−3\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x - 3.

Lời giải:

Bình phương hai vế: 2x2−5x−3=(x−3)2  ⟺  2x2−5x−3=x2−6x+9  ⟺  x2+x−12=02x^2 - 5x - 3 = (x - 3)^2 \iff 2x^2 - 5x - 3 = x^2 - 6x + 9 \iff x^2 + x - 12 = 0.

Phương trình có hai nghiệm: x=3x = 3 hoặc x=−4x = -4.

Thử lại: Thay x=3x = 3 vào PT: 2(9)−15−3=3−3  ⟺  0=0\sqrt{2(9) - 15 - 3} = 3 - 3 \iff 0 = 0 (thoả mãn). Thay x=−4x = -4 vào PT: vế phải là −4−3=−7<0-4 - 3 = -7 < 0 (loại nghiệm ngoại lai). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3x = 3.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Phương trình dạng ax2+bx+c=dx2+ex+f\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}: Bình phương hai vế đưa về phương trình ax2+bx+c=dx2+ex+fax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f. Giải phương trình bậc hai này, sau đó thay các nghiệm tìm được vào phương trình gốc để kiểm tra và kết luận tập nghiệm.
  • Phương trình dạng ax2+bx+c=dx+e\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e: Bình phương hai vế đưa về ax2+bx+c=(dx+e)2ax^2 + bx + c = (dx + e)^2. Giải phương trình này và bắt buộc phải thử lại nghiệm vào phương trình gốc (hoặc đặt điều kiện dx+e≥0dx + e \ge 0 ngay từ đầu) để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
  • Bước thử lại nghiệm (hoặc đặt điều kiện có nghĩa) là khâu BẮT BUỘC trong phép biến đổi hệ quả để loại nghiệm không thoả mãn phương trình chứa căn.
  • Ứng dụng giải các bài toán thực tế về chuyển động, khoảng cách toạ độ và hình học quy về phương trình bậc hai chứa căn thức.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Câu 1: Tại sao phép bình phương hai vế trong phương trình chứa căn lại sinh ra nghiệm ngoại lai?
Bởi vì phép bình phương hai vế A=B⇒A2=B2A = B \Rightarrow A^2 = B^2 là PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ, không phải phép biến đổi tương đương! Phương trình A2=B2A^2 = B^2 tương đương với A=BA = B hoặc A=−BA = -B. Khi bình phương, ta đã vô tình nạp thêm các nghiệm của phương trình A=−BA = -B (những giá trị làm cho hai vế trái dấu). Vì vậy, bắt buộc phải có bước kiểm tra điều kiện hoặc thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Câu 2: Các bước giải chuẩn phương trình dạng ax2+bx+c=dx2+ex+f\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}?
Bước 1: Bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai: ax2+bx+c=dx2+ex+f  ⟺  (a−d)x2+(b−e)x+(c−f)=0ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f \iff (a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f) = 0. Bước 2: Giải phương trình bậc hai tìm các nghiệm xx. Bước 3: Thay lần lượt từng nghiệm tìm được vào phương trình gốc ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn. Bước 4: Kết luận tập nghiệm chính thức của phương trình.
Câu 3: Các bước giải chuẩn phương trình dạng ax2+bx+c=dx+e\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e?
Cách 1 (Biến đổi tương đương): Đặt điều kiện vế phải không âm: dx+e≥0  ⟺  x≥−eddx + e \ge 0 \iff x \ge -\frac{e}{d}. Sau đó bình phương hai vế: ax2+bx+c=(dx+e)2ax^2 + bx + c = (dx + e)^2. Giải phương trình bậc hai và so sánh với điều kiện để kết luận. Cách 2 (Biến đổi hệ quả): Bình phương hai vế giải tìm nghiệm, sau đó thay trực tiếp các nghiệm vào phương trình gốc ban đầu để kiểm tra và loại nghiệm sai.
Câu 4: Khi nào nên đặt điều kiện có nghĩa trước, khi nào nên thử lại nghiệm sau cùng?
Nếu biểu thức dưới căn phức tạp (ví dụ ax2+bx+cax^2 + bx + c có nghiệm xấu hoặc Δ<0\Delta < 0), việc giải điều kiện ax2+bx+c≥0ax^2 + bx + c \ge 0 rất mất thời gian. Khi đó giải theo phép biến đổi hệ quả (bình phương hai vế) rồi thử lại nghiệm sau cùng sẽ nhanh và tránh nhầm lẫn hơn rất nhiều. Ngược lại, nếu vế phải là nhị thức bậc nhất đơn giản dx+edx + e, việc đặt điều kiện dx+e≥0dx + e \ge 0 trước giúp loại nghiệm nhanh chóng mà không cần tính căn.

Đề luyện tập theo bài

Toán 10 KNTT: Chương 6 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai: Đề 1 Nhận biết15 câu hỏi · Nhận biết
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 6 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai: Đề 2 Thông hiểu15 câu hỏi · Thông hiểu
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 6 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai: Đề 3 Vận dụng15 câu hỏi · Vận dụng
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 6 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai: Đề 4 Vận dụng cao15 câu hỏi · Vận dụng cao
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 6 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai: Đề 5 Tổng hợp15 câu hỏi · Tổng hợp
Làm đề