Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để .

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = α. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ , được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ , được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} ( \alpha \ne 90^\circ ) ;$ $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} ( \alpha \ne 0^{\circ} \text{ v}à \alpha \ne 180^\circ ) ;$ $tan \alpha = \frac{1}{cot \alpha} \text{(} \alpha ∉ \{ 0^\circ ; 90^\circ ; 180^\circ \} )$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = 120^o. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{xOM}$ = 120^o và $\widehat{xOK} = 90^{o}$ nên $\widehat{KOM} = 30^{o}$ và $\widehat{MON} = 60^{o}$ .

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60^o = $\frac{1}{2}$ và cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos $\widehat{MON}$ .OM = cos60^o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos $\widehat{MOK}$ .OM = cos30^o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M(-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120^o = $-\frac{1}{2}$

tan 120^o = $\frac{sin120^{o}}{cos120^{o}} = -\sqrt{3}$

cot 120^o = $\frac{cos120^{o}}{sin120^{o}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Vậy sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; cos 120^o = $-\frac{1}{2}$ ; tan 120^o = $-\sqrt{3}$ ; cot 120^o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = –cos α;

tan (180° – α) = –tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = –cot α (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra :

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = –cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = –tan45° = –1

cot135° = –cot45° = –1.

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; tan35° = –1; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos²30°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° – tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$ .

b) cot 135° – tan 60°. cos² 30°

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos²30°

= - cot45° – tan60°.cos²30°

= (–1) – $\sqrt{3}$ . $(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$ = $-\frac{4 + 3\sqrt{3}}{4}$ .

Bài 2: Cho A = $\frac{3sin \alpha -cos \alpha}{sin \alpha + cos \alpha}$ và tan α = $\sqrt{2}$ . Chứng minh A = $7-4\sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \sqrt{2} \Rightarrow sin \alpha = \sqrt{2}cos \alpha$

Suy ra $A = \frac{3sin \alpha -cos \alpha}{sin \alpha + cos \alpha}$

$= \frac{3\sqrt{2}cos \alpha -cos \alpha}{\sqrt{2}cos \alpha + cos \alpha}$

$= \frac{( 3\sqrt{2}-1 ) cos \alpha}{( \sqrt{2} + 1 ) cos \alpha}$

$= \frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2}-1)} = 7-4\sqrt{2}$

Vậy A = $7-4\sqrt{2}$ .

Bài 3: Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 4sin² α + 3cos² α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin² α + 3cos² α = (3sin² α + 3cos² α) + sin² α = 3 (sin² α + cos² α) + sin² α

Vì cos² α+ sin ² α= 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Thay vào A ta có: A = 3. 1 + $(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$ = $\frac{7}{2}$ ;

Vậy A = $\frac{7}{2}$ .

Học tốt Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Các bài học để học tốt Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o