Toán học lớp 10 · KNTT · Chương 8

Lý thuyết Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Chương 8: Đại số tổ hợp · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá toàn bộ định nghĩa, tính chất, bảng biểu trực quan, công thức KaTeX chuẩn và câu hỏi củng cố có lời giải chi tiết.

Lớp

10 11 12

Môn

Toán học Vật lý Hóa học Ngữ văn Tiếng Anh Sinh học Lịch sử Địa lý Giáo dục kinh tế & pháp luật Tin học Công nghệ

I. Khai triển Nhị thức Newton bậc 4 và bậc 5

1. Khai triển nhị thức bậc 4:

Với hai số $a, b$ bất kì, ta có:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Khi thay $b$ bằng $-b$ , ta nhận được khai triển dấu đan xen:

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

2. Khai triển nhị thức bậc 5:

Với hai số $a, b$ bất kì, ta có:

$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Khi thay $b$ bằng $-b$ :

$(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

II. Tam giác Pascal và ứng dụng tìm hệ số

Tam giác Pascal cung cấp cách tìm nhanh các hệ số trong khai triển nhị thức Newton:

Bậc $n$	Hệ số khai triển $(a + b)^n$
$n = 0$	$1$
$n = 1$	$1 \quad 1$
$n = 2$	$1 \quad 2 \quad 1$
$n = 3$	$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
$n = 4$	$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$
$n = 5$	$1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$

Quy luật: Mỗi số ở giữa của một dòng bằng tổng của hai số đứng ngay phía trên nó ở dòng liền trước.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

Công thức Nhị thức Newton bậc 4: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ . Khi thay $b$ bằng $-b$ : $(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$ .
Công thức Nhị thức Newton bậc 5: $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$ . Khi thay $b$ bằng $-b$ : $(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$ .
Đặc điểm khai triển $(a + b)^n$ : Có $n + 1$ số hạng; bậc của $a$ giảm dần từ $n$ về 0, bậc của $b$ tăng dần từ 0 lên $n$ ; tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $n$ ; các hệ số đối xứng qua vị trí chính giữa.
Tam giác Pascal: Mỗi dòng bắt đầu và kết thúc bằng số 1; mỗi số ở giữa bằng tổng của hai số nằm ngay phía trên nó ở dòng trước, tương ứng chính xác với các hệ số nhị thức Newton $C_n^k$ .

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Câu 1: Viết công thức khai triển nhị thức Newton cho trường hợp

(a + b)^4

và

(a + b)^5

1) Khai triển bậc 4:

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

. 2) Khai triển bậc 5:

(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5

. Chú ý quy luật đổi dấu đan xen khi khai triển dấu trừ:

(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4

và

(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5

Câu 2: Quy luật xây dựng các số trong Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal được xây dựng theo các quy tắc: 1) Hàng 0 (đỉnh) là số 1. 2) Mọi hàng đều bắt đầu và kết thúc bằng số 1. 3) Mỗi số ở vị trí giữa bằng TỔNG CỦA HAI SỐ nằm ngay phía trên bên trái và phía trên bên phải của nó ở hàng liền trước (công thức

C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k

). Hàng

n

của tam giác Pascal chính là các hệ số của khai triển nhị thức Newton

(a + b)^n

Câu 3: Cách tìm hệ số của số hạng chứa

x^k

trong khai triển nhị thức

(ax + b)^n

Bước 1: Viết số hạng tổng quát của khai triển (với

n = 4

hoặc

5

): Số hạng thứ

m

có dạng

C_n^m (ax)^{n-m} b^m = C_n^m a^{n-m} b^m x^{n-m}

. Bước 2: Cho số mũ của

x

bằng

k

n - m = k \Rightarrow m = n - k

. Bước 3: Thay giá trị

m

vừa tìm được vào phần hệ số để tính ra giá trị cụ thể của hệ số cần tìm.

Câu 4: Mẹo tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức Newton

(ax + b)^n

Mẹo kinh điển: Muốn tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển của một đa thức, ta chỉ cần THAY TẤT CẢ CÁC BIẾN SỐ BẰNG 1 (

x = 1

). Ví dụ: Tổng các hệ số trong khai triển của

(2x - 1)^5

là giá trị của biểu thức khi thay

x = 1

S = (2(1) - 1)^5 = 1^5 = 1

. Tương tự, tổng các hệ số của

(x + 1)^n

luôn bằng

(1 + 1)^n = 2^n

Đề luyện tập theo bài

Toán 10 KNTT: Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton: Đề 1 Nhận biết15 câu hỏi · Nhận biết

Làm đề

Toán 10 KNTT: Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton: Đề 2 Thông hiểu15 câu hỏi · Thông hiểu

Làm đề

Toán 10 KNTT: Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton: Đề 3 Vận dụng15 câu hỏi · Vận dụng

Làm đề

Toán 10 KNTT: Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton: Đề 4 Vận dụng cao15 câu hỏi · Vận dụng cao

Làm đề

Toán 10 KNTT: Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton: Đề 5 Tổng hợp15 câu hỏi · Tổng hợp

Làm đề