Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

ax + by ≤ c(ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c)

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số (x₀; y₀)được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ cnếu bất đẳng thức ax₀ + by₀ ≤ cđúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

5x + 2y < 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

5x + 2y – 3z > 3không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ về nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Vì 5.(–1) + 2(–2) = –9 < 4 nên cặp số (–1; –2) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.(–1) + 2.2 = –1 < 4 nên cặp số (–1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (–1; –2); (0; 0); (–1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by > c;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by < c;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c:

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm M₀(x₀; y₀) không thuộc d.

+ Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

+ Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x – 7y ≤ 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 5x – 7y = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm M₀(0; 1) không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức 5x – 7y ta được 5.0 – 7.1 = –7 < 0 là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M₀ (miền không bị gạch)

Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x + 5y < 7

b) 2x² + y > 8

c) 3y² < 4

d) 4x – 5 < 3y

e) 4x + 5y – 6t < 3

Hướng dẫn giải

Các bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Ta có: 2x + 5y < 7 có dạng ax + by < c với a = 2, b = 5 và c = 7. Do đó a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: 2x² + y > 8 là bất phương trình bậc hai nên b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: y² < 4 là bất phương trình bậc hai nên c) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 4x – 5 < 3y ⇔ 4x – 3y < 5 có dạng ax + by < c với a = 4, b = – 3 và c = 5. Do đó d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 4x + 5y – 6t < 3 là bất phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, t. Do đó e) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy 2x + 5y < 7; 4x – 5 < 3y là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: x + y ≥ 100?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình x + y ≥ 100 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy điểm O(0; 0) thay vào bất phương trình ta có: 0 + 0 ≥ 100 là một mệnh đề sai.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Bài 3. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + y < 20 . Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình trên?

(x; y) = (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12).

Hướng dẫn giải

Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: 2 + 5 = 7 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (2;5) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: 4 + 8 = 12 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (4;8) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: 5 + 6 = 11 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (5;6) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: 4 + 7 = 11 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (4;7) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 11 + 12 = 23 < 20 (sai). Do đó cặp số (11;12) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có cặp nghiệm thỏa mãn là:

(x; y) = (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7).

Bài 4. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 4x + y ≤ 15.

a) Chỉ ra 2 nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với x = 0 thì có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (0; 0)

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 0 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn (x; y) = (0; 1)

Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 1 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy hai cặp nghiệm của bất phương trình: (x; y) = (0; 0), (0; 1).

b) Với x = 0 thì bất phương trình trở thành: y ≤ 15 và có vô số giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

Học tốt Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Các bài học để học tốt Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn