Lý thuyết Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

- Vectơ $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $k\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; 1) và B(0; 4). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{AB} = ( 0-2 ; 4-1 ) = ( -2 ; 3 )$

Vì đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{AB} = ( -2 ; 3 )$ .

Vậy vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB là $\vec{AB} ( -2 ; 3 )$ .

- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} ( a ; b )$ . Khi đó M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

- Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\vec{n} ( a ; b )$ là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\vec{n} ( -1 ; 3 )$ là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Điểm A(1; 2) thuộc ∆ và $\vec{n} ( -1 ; 3 )$ là một vectơ pháp tuyến của ∆.

Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình là: – 1(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay – x + 3y – 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là – x + 3y – 5 = 0.

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.

+ Nếu b = 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng x = m (với m = $-\frac{c}{a}$ ) và ∆ vuông góc với Ox.

+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = $-\frac{a}{b}$ , p = $-\frac{c}{b}$ ).

Ví dụ:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn 2x + 3 = 0, hay x = $-\frac{3}{2}$ .

b) Đường thẳng ∆: x + 4y – 2 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn x + 3y – 2 = 0, hay $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ .

Vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $k\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Vectơ $\vec{n} ( a ; b )$ vuông góc với các vectơ và $\vec{u} ( -b ; a )$ và $\vec{v} ( b ; -a )$ nên nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $\vec{u}$ , $\vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(2; 1) và B(–2; 3). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{AB} = ( -2-2 ; 3-1 ) = ( -4 ; 2 )$

Khi đó giá của vectơ $\vec{AB}$ trùng với đường thẳng AB nên đường thẳng AB nhận vectơ $\vec{AB} ( -4 ; 2 )$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\vec{n} = ( 2 ; 4 )$ , khi đó $\vec{n} = ( 2 ; 4 )$ vuông góc với $\vec{AB}$ .

Do đó $\vec{n} = ( 2 ; 4 )$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vậy $\vec{AB} ( -4 ; 2 )$ là vectơ chỉ phương, $\vec{n} = ( 2 ; 4 )$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

- Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ∆ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho $\vec{AM} = t\vec{u}$ , hay $(\begin{cases} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{cases}) \text{(2)}$

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} ( 2 ; -1 )$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} ( 2 ; -1 )$ .

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3-t \end{cases})$

Bài tập Phương trình đường thẳng

Bài 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(2; –2) và N(0; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{NM} = ( 2-0 ; -2-3 ) = ( 2 ; -5 )$

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N có một vectơ chỉ phương là $\vec{NM} ( 2 ; -5 )$ .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm N(0 ; 3) có vectơ chỉ phương là $\vec{NM} ( 2 ; -5 )$ có phương trình tham số là $(\begin{cases} x = 2t \\ y = 3-5t \end{cases})$

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N là $(\begin{cases} x = 2t \\ y = 3-5t \end{cases})$ :

Bài 2. Cho vectơ $\vec{n} ( -5 ; 2 )$ và điểm A( $\frac{1}{2}$ ; 6). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến là .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A( $\frac{1}{2}$ ; 6) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} ( -5 ; 2 )$ .

Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là –5(x – $\frac{1}{2}$ ) + 2(y – 6) = 0, hay –5x + 2y – $\frac{19}{2}$ = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: –5x + 2y – $\frac{19}{2}$ = 0.

Bài 3. Cho tam giác PQR có P(–4; 1), Q(1; 3), R(2; 5).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ R của tam giác PQR.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{PQ} = ( 1 + 4 ; 3-1 ) = ( 5 ; 2 )$

Đường cao của tam giác PQR kẻ từ R là đường thẳng đi qua điểm R(2 ; 5) và vuông góc với PQ. Do đó, nó nhận vectơ $\vec{PQ} ( 5 ; 2 )$ là một vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của đường cao này là: 5(x – 2) + 2(y – 5) = 0, hay 5x + 2y – 20 = 0.

Vậy đường cao kẻ từ R của tam giác PQR có phương trình tổng quát là: 5x + 2y – 20 = 0.

b) Gọi I là trung điểm của QR. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

$(\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{Q} + x_{R}}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{Q} + y_{R}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \end{cases})$

Suy ra I( $\frac{3}{2}$ ; 4).

Ta có $\vec{PI} = ( \frac{3}{2} + 4 ; 4-1 ) = ( \frac{11}{2} ; 3 )$

Đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR chính là đường thẳng đi qua hai điểm P và I, tức là đường thẳng PI.

Do đó đường thẳng PI đi qua P(–4; 1), có một vectơ chỉ phương là $\vec{PI} ( \frac{11}{2} ; 3 )$ .

Phương trình tham số của đương thẳng PI là $(\begin{cases} x = -4 + \frac{11}{2}t \\ y = 1 + 3t \end{cases})$ : .

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR là: $(\begin{cases} x = -4 + \frac{11}{2}t \\ y = 1 + 3t \end{cases})$

Bài 4. Cho hai đường thẳng ∆₁: –x + 4y – 1 = 0 và ∆₂: $(\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + 5t \end{cases})$

a) Viết phương trình tham số của ∆₁.

b) Viết phương trình tổng quát của ∆₂.

Hướng dẫn giải

Học tốt Phương trình đường thẳng

Các bài học để học tốt Phương trình đường thẳng Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng