Lý thuyết Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Tích của một vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ với một số thực k > 0 là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng k $\vec{a}$ .

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

– Vectơ $\frac{1}{2}\vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(\frac{1}{2}\vec{a})$ = $\frac{1}{2} | \vec{a} |$

– Vectơ $\frac{3}{2}\vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(\frac{3}{2}\vec{a})$ = $\frac{3}{2} | \vec{a} |$ .

• Tích của một vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ với một số thực k < 0 là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng (–k) | $\vec{a}$ |.

Ví dụ: Cho hình sau:

– Vectơ –2 $\vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(-2\vec{a})$ = $2 | \vec{a} |$

– Vectơ $-\frac{3}{2}\vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(-\frac{3}{2}\vec{a})$ = $\frac{3}{2} | \vec{a} |$ .

Chú ý: Ta quy ước k $\vec{a}$ = $\vec{0}$ nếu $\vec{a}$ = $\vec{0}$ hoặc k = 0.

Nhận xét: Vectơ k $\vec{a}$ có độ dài bằng |k|| $\vec{a}$ | và cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k ≥ 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $\vec{a}$ ≠ $\vec{0}$ và k < 0.

Chú ý: Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).

Với hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực k, t, ta luôn có :

+) k(t $\vec{a}$ ) = (kt) $\vec{a}$ ;

+) k ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k ( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ – k $\vec{b}$ ;

+) (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{a}$ ;

+) 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (–1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Nhận xét:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ .

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ .

Ví dụ:

a) Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có $\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OI}$ .

b) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 3\vec{OG}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của CD nên ta có $\vec{IC} + \vec{ID} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{OC} + \vec{OD} = ( \vec{OI} + \vec{IC} ) + ( \vec{OI} + \vec{ID} )$ = 2 $\vec{OI}$ + ( $\vec{IC} + \vec{ID}$ )= 2 $\vec{OI}$ + $\vec{0}$ = 2 $\vec{OI}$ .

Vậy, $\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OI}$ .

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = ( \vec{OG} + \vec{GA} ) + ( \vec{OG} + \vec{GB} ) + ( \vec{OG} + \vec{GC} )$

= $3\vec{OG} + ( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} ) = 3\vec{OG} + \vec{0} = 3\vec{OG}$

Vậy $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$ .

Chú ý : Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho $\vec{u}$ = x $\vec{a}$ + y $\vec{b}$ .

Ví dụ : Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M để $\vec{MA} + 3\vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Để xác định vị trí của M, trước hết ta biểu thị $\vec{AM}$ (với gốc A đã biết) theo hai vectơ đã biết $\vec{AB} , \vec{AC}$ .

$\vec{MA} + 3\vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}$

⇔ $\vec{MA} + 3 ( \vec{MA} + \vec{AB} ) + 2 ( \vec{MA} + \vec{AC} ) = \vec{0}$

⇔ $6\vec{MA} + 3\vec{AB} + 2\vec{AC} = \vec{0}$

⇔ $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

Lấy điểm E là trung điểm của AB và điểm F thuộc cạnh AC sao cho $\text{AF} = \frac{1}{3}AC$ .

Khi đó $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ và $\vec{AF} = \frac{1}{3}\vec{AC}$ . Vì vậy $\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{AF}$ .

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Bài tập Tích của một vectơ với một số

Bài 1: Cho $\vec{a}$ và điểm O không thuộc giá của $\vec{a}$ . Xác định hai điểm M và N sao cho $\vec{OM} = 3\vec{a} , \vec{ON} = -4\vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Vẽ đường thẳng d đi qua O và song song với giá của $\vec{a}$ .

Trên d lấy điểm M sao cho OM= 3| $\vec{a}$ |, $\vec{OM}$ và $\vec{a}$ cùng hướng khi đó $\vec{OM} = 3\vec{a}$ .

Trên d lấy điểm N sao cho ON = 4| $\vec{a}$ |, $\vec{ON}$ và $\vec{a}$ ngược hướng, khi đó $\vec{ON} = -4\vec{a}$ .

Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{u} = \vec{AB} , \vec{v} = \vec{AC}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{BC}$

= $\vec{AB} + \frac{2}{3} ( \vec{AC}-\vec{AB} ) = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$

Vậy $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v}$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức: $\vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0} , \vec{AB}-\vec{NA}-3\vec{AC} = \vec{0}$ . Chứng minh MN // AC.

Hướng dẫn giải

Vì $\vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0} , \vec{AB}-\vec{NA}-3\vec{AC} = \vec{0}$

Do đó ta có: $\vec{BC} + \vec{MA} + \vec{AB}-\vec{NA}-3\vec{AC} = \vec{0}$

Hay $( \vec{AB} + \vec{BC} ) + ( \vec{MA} + \vec{AN} ) -3\vec{AC} = \vec{0}$

⇔ $\vec{AC} + \vec{MN}-3\vec{AC} = \vec{0}$

⇔ $\vec{MN} = 2\vec{AC}$

Vậy $\vec{MN}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Từ giả thiết $\vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}$ suy ra $\vec{BC} = \vec{AM}$ , mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.

Suy ra M không thuộc đường thẳng AC, mà $\vec{MN}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Vậy MN // AC.

Học tốt Tích của một vectơ với một số

Các bài học để học tốt Tích của một vectơ với một số Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số