Lý thuyết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{AB} = \vec{u}$ và $\vec{AC} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A và $\widehat{B} = 30^\circ$ . Tính $( \vec{AB} , \vec{AC} )$ , $( \vec{CA} , \vec{CB} )$ , $( \vec{AB} , \vec{BC} )$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $( \vec{AB} , \vec{AC} )$ = $\widehat{BAC} = 90^\circ$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{ACB} = 90^\circ-\widehat{ABC} = 90^\circ-30^\circ = 60^\circ$

Suy ra: $( \vec{CA} , \vec{CB} ) = \widehat{ACB} = 60^\circ$ .

Vẽ $\vec{BD}$ sao cho $\vec{BD}$ = $\vec{AB}$ . Khi đó $( \vec{AB} , \vec{BC} )$ = $( \vec{BD} , \vec{BC} )$ = $\widehat{CBD}$ .

Mặt khác $\widehat{ABC} + \widehat{CBD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CBD} = 180^\circ-\widehat{ABC} = 180^\circ-30^\circ = 150^\circ$ .

Do đó, $( \vec{AB} , \vec{BC} )$ = $\widehat{CBD}$ = 150°.

Vậy $( \vec{AB} , \vec{AC} )$ = 90°, $( \vec{CA} , \vec{CB} )$ = 60°, $( \vec{AB} , \vec{BC} )$ = 150°.

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là $\vec{u}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có $\vec{u}^{2} = \text{} | \vec{u} | . | \vec{u} | . cos0^\circ = (\vec{u})^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\vec{AB} . \vec{AC}$ ;

b) $\vec{AH} . \vec{BC}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC đều nên $( \vec{AB} , \vec{AC} ) = \widehat{BAC} = 60^\circ$ .

Suy ra: $\vec{AB} . \vec{AC} = | \vec{AB} | . | \vec{AC} | cos ( \vec{AB} , \vec{AC} ) = 2.2.cos60^\circ = 2.2.\frac{1}{2} = 2$ .

Vậy $\vec{AB} . \vec{AC}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $( \vec{AH} , \vec{BC} ) = 90^\circ$ .

Ta có: $\vec{AH} . \vec{BC} = | \vec{AH} | . | \vec{BC} | cos ( \vec{AH} , \vec{BC} ) = | \vec{AH} | . | \vec{BC} | cos90^\circ = | \vec{AH} | . | \vec{BC} | .0 = 0$ .

Vậy $\vec{AH} . \vec{BC}$ = 0.

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = ( x ; y )$ và $\vec{v} = ( x ' ; y ' )$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = ( x ; y )$ là $\vec{u}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{xx ' + yy '}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{x'}^{2} + {y'}^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = ( 0 ; -5 )$ và $\vec{v} = ( \sqrt{3} ; 1 )$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + ( -5 )^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{( \sqrt{3} )^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{-5}{5.2} = \frac{-5}{10} = \frac{-1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{\text{w}}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{\text{w}}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{\text{w}}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = $\vec{u}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{v}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = $\vec{u}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{v}^{2}$ ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ).( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ ) = $\vec{u}^{2}$ – $\vec{v}^{2}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:

$\vec{MA} . \vec{BC} + \vec{MB} . \vec{CA} + \vec{MC} . \vec{AB} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{MA} . \vec{BC} = \vec{MA} . ( \vec{MC}-\vec{MB} ) = \vec{MA} . \vec{MC}-\vec{MA} . \vec{MB} ;$ (1)

$\vec{MB} . \vec{CA} = \vec{MB} . ( \vec{MA}-\vec{MC} ) = \vec{MB} . \vec{MA}-\vec{MB} . \vec{MC} ;$ (2)

$\vec{MC} . \vec{AB} = \vec{MC} . ( \vec{MB}-\vec{MA} ) = \vec{MC} . \vec{MB}-\vec{MC} . \vec{MA}$ . (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3), ta được: $\vec{MA} . \vec{BC} + \vec{MB} . \vec{CA} + \vec{MC} . \vec{AB} = 0$

Vậy $\vec{MA} . \vec{BC} + \vec{MB} . \vec{CA} + \vec{MC} . \vec{AB} = 0$ .

Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1: Cho hai vectơ $\vec{a} = ( 1 ; -2 ) ; \vec{b} = ( -1 ; -3 )$ .

a) Tính tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1.(–1) + (–2).(–3) = 5.

Vậy $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 5.

b) Ta có $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + ( -2 )^{2}} = \sqrt{5}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{( -1 )^{2} + ( -3 )^{2}} = \sqrt{10}$ .

Khi đó cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{5}{\sqrt{5} . \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = 45°.

Vậy góc giữa hai vectơ và là 45°.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ của điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ (x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

$(\begin{cases} \vec{BA} . \vec{BC} = 0 \\ | \vec{BA} | = | \vec{BC} | \end{cases})$

Ta có $\vec{BA} = ( 1 ; 3 )$ và $\vec{BC} = ( x-1 ; y-1 )$ .

Khi đó $\vec{BA} . \vec{BC} = 1. ( x-1 ) + 3 ( y-1 ) = x + 3y-4$ .

Và $| \vec{BA} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ; $| \vec{BC} | = \sqrt{( x-1 )^{2} + ( y-1 )^{2}}$

Ta có: $(\begin{cases} \vec{BA} . \vec{BC} = 0 \\ | \vec{BA} | = | \vec{BC} | \end{cases})$

⇔ $(\begin{cases} x + 3y-4 = 0 \\ \sqrt{10} = \sqrt{( x-1 )^{2} + ( y-1 )^{2}} \end{cases})$

⇔ $(\begin{cases} x + 3y-4 = 0 \\ \sqrt{10} = \sqrt{( x-1 )^{2} + ( y-1 )^{2}} \end{cases})$

⇔ $(\begin{cases} x + 3y-4 = 0 \\ 10 = ( x - 1 )^{2} + ( y - 1 )^{2} \end{cases})$

⇔ $(\begin{cases} x = 4-3y \\ ( 3 - 3y )^{2} + ( y - 1 )^{2} = 10 \end{cases}) \Leftrightarrow (\begin{cases} x = 4-3y \\ 10y^{2}-20y = 0 \end{cases})$

⇔ $(\begin{cases} x = 4-3y \\ (\begin{cases} y = 0 \\ y = 2 \end{cases}) \end{cases})$ ⇔ $(\begin{cases} (\begin{cases} x = 4 \\ y = 0 \end{cases}) \\ (\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}) \end{cases})$

Vậy có hai điểm C và C’ thỏa mãn điều kiện của bài toán: C(4; 0) và C’(–2; 2).

Học tốt Tích vô hướng của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ