Lý thuyết Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

- Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C).

Nhận xét:

- Phương trình (1) tương đương với: x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

- Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}-c}$

Ví dụ:

a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1.

b) Cho phương trình đường tròn x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1 là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 1 .

b) Từ phương trình x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0

⇔ x² + y² – 2.( –1).x – 2.( –2).y + (– 5) = 0

Khi đó a = –1 và b = –2, c = – 5.

Suy ra tâm của đường tròn này là I(–1; –2) và bán kính của đường tròn là:

$R = \sqrt{( -1 )^{2} + ( -2 )^{2}- ( -5 )} = \sqrt{10}$

Vậy tâm của đường tròn này là: I(–1; –2) và bán kính R= $\sqrt{10}$ .

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến $\vec{MI} = ( a-x_{0} ; b-y_{0} )$ và phương trình:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² = 10 và điểm M(0; 1) thuộc đường tròn (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 10 suy ra tâm của (C) là I(1; –2).

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với MI.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến $\vec{MI} = ( 1-0 ; -2-1 ) = ( 1 ; -3 )$ , nên ta có phương trình:

1(x – 0) + (–2)(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) là x – 2y + 2 = 0.

Bài tập Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Cho hai điểm A(3; –4 ); B(–3; 4).Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{AB} = ( -3-3 ; 4- ( -4 ) ) = ( -6 ; 8 )$ ⇒ AB = $(\vec{AB})$ = $\sqrt{( -6 )^{2} + 8^{2}} = 10$

Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó tọa độ của điểm M thỏa mãn: $(\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{3 + ( -3 )}{2} = 0 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{-4 + 4}{2} = 0 \end{cases})$ ⇒ M(0; 0).

Do đường tròn (C) có đường kính là AB nên điểm M chính là tâm của đường tròn và bán kính đường tròn $R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 0)² + (y – 0)² = 5² ⇔ x² + y² = 25.

Vậy đường tròn (C) có phương trình là x² + y² = 25.

Bài 2: Cho phương trình là x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0. Phương trình này có phải là phương trình đường tròn hay không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có : x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 ⇔ x² + y² –2.( –3)x –2.( –4)y + 7 = 0.

Suy ra a = –3 ; b = –4 ; c = 7.

Vì a² + b² – c = (–3)² + (–4)² – 7 = 18 > 0 nên x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}-c} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .

Vậy, phương trình x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính R = $3\sqrt{2}$

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình là: x² + y² = $\frac{100}{81}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm A( $\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) thì buông đĩa. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): x² + y² = $\frac{100}{81}$ suy ra tâm của (C) là O(0; 0).

Tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) có vectơ pháp tuyến , nên có phương trình:

$\frac{6}{9}$ (x – $\frac{6}{9}$ ) + $\frac{8}{9}$ (y – $\frac{8}{9}$ ) = 0 ⇔ 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) là 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Học tốt Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Các bài học để học tốt Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ