MasterSchool
Đăng nhậpHS

Toán học lớp 10 · KNTT · Chương 3

Lý thuyết Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá toàn bộ định nghĩa, tính chất, bảng biểu trực quan, công thức KaTeX chuẩn và câu hỏi củng cố có lời giải chi tiết.

Lớp
101112
Môn
Toán họcVật lýHóa họcNgữ vănTiếng AnhSinh họcLịch sửĐịa lýGiáo dục kinh tế & pháp luậtTin họcCông nghệ

I. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Hình ảnh minh họa SGK Toán 10

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hình ảnh minh họa SGK Toán 10

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos 60o = 22 + 32 – 2.2.3. 12\frac{1}{2} = 7.

Suy ra BC = 7\sqrt{7} (cm)

Vậy BC = 7\sqrt{7} cm.

II. Định lí sin

Trong tam giác ABC: asinA=bsinB=csinC=2R\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A^=120∘\widehat{A} = 120^\circ , B^=30∘\widehat{B} = 30^\circ , c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ .

Suy ra C^=180∘−(A^+B^)=180∘−(120∘+30∘)=30∘\widehat{C} = 180^\circ- ( \widehat{A} + \widehat{B} ) = 180^\circ- ( 120^\circ + 30^\circ ) = 30^\circ .

Áp dụng Định lí sin, ta có: asinA=bsinB=csinC=2R\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R

⇔asin120∘=bsin30∘=10sin30∘=2R\Leftrightarrow \frac{a}{sin120^\circ} = \frac{b}{sin30^\circ} = \frac{10}{sin30^\circ} = 2R .

Suy ra:

a=10sin30∘⋅sin120∘=103a = \frac{10}{sin30^\circ} \cdot sin120^\circ = 10\sqrt{3}

b=10sin30∘⋅sin30∘=10b = \frac{10}{sin30^\circ} \cdot sin30^\circ = 10

R=102sin30∘=10R = \frac{10}{2sin30^\circ} = 10

Vậy a = 10310\sqrt{3} ; b = 10; R = 10; C^=300\widehat{C} = 30^{0} .

III. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C^=60∘\widehat{C} = 60^\circ , A^=100∘\widehat{A} = 100^\circ .

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ .

Suy ra B^=180∘−(A^+C^)=180∘−(100∘+60∘)=20∘\widehat{B} = 180^\circ- ( \widehat{A} + \widehat{C} ) = 180^\circ- ( 100^\circ + 60^\circ ) = 20^\circ .

Áp dụng định lí sin, ta có: asinA=bsinB=csinC\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}

⇔asin100∘=12sin20∘=csin60∘\Leftrightarrow \frac{a}{sin100^\circ} = \frac{12}{sin20^\circ} = \frac{c}{sin60^\circ}

Suy ra:

a=12sin20∘⋅sin100∘≈34,6a = \frac{12}{sin20^\circ} \cdot sin100^\circ ≈ 34,6

c=12sin20∘⋅sin60∘≈30,4c = \frac{12}{sin20^\circ} \cdot sin60^\circ ≈ 30,4

Vậy tam giác ABC có: A^=100∘\widehat{A} = 100^\circ , B^=20∘\widehat{B} = 20^\circ , C^=60∘\widehat{C} = 60^\circ ; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, BCA^=37o\widehat{BCA} = 37^{o} . Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình ảnh minh họa SGK Toán 10

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

BCsinA=ABsinC\frac{BC}{sinA} = \frac{AB}{sinC}

⇒ 5sinA=12sin370\frac{5}{sinA} = \frac{12}{sin37^{0}}

⇒ sin A = 5.sin37o12≈0,2508\frac{5.sin37^{o}}{12} ≈ 0,2508

⇒ A^\widehat{A} ≈ 14°31’

⇒ B^\widehat{B} ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: ACsinB=ABsinC\frac{AC}{sinB} = \frac{AB}{sinC}

⇒ AC = ABsinC\frac{AB}{sinC} .sinB = 12sin37∘\frac{12}{sin37^\circ} .sin128o29' ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

IV. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = 32\frac{\sqrt{3}}{2} (a+b+c)r2\frac{( a + b + c ) r}{2}

+) S = 12\frac{1}{2} bc sin A = 12\frac{1}{2} ca sin B = 12\frac{1}{2} ab sin C.

+) S = abc4R\frac{abc}{4R}

+) Công thức Heron: S = p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c )} .

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và A^=60o\widehat{A} = 60^{o} .

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = 12\frac{1}{2} bc sin A = 12\frac{1}{2} .14.35.sin 60° = 12\frac{1}{2} .14.35. 32\frac{\sqrt{3}}{2} = 24532\frac{245\sqrt{3}}{2} (cm2).

Vậy diện tích tam giác ABC là: 24532\frac{245\sqrt{3}}{2} cm2.

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: p=a+b+c2=4+5+32=122=6p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là :

S = p(p−a)(p−b)(p−c)=6.(6−4).(6−5).(6−3)=36=6\sqrt{p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c )} = \sqrt{6. ( 6-4 ) . ( 6-5 ) . ( 6-3 )} = \sqrt{36} = 6 (cm2).

Mặt khác S = abc4R\frac{abc}{4R} ⇒ R = abc4S\frac{abc}{4S} = 4.5.34.6=52=2,5\frac{4.5.3}{4.6} = \frac{5}{2} = 2,5 (cm).

Ta có : S = pr ⇒ r = Sp\frac{S}{p} = 66\frac{6}{6} = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm2, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, B^=60∘\widehat{B} = 60^\circ . (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2. AB. BC. cos B

= 152 + 352 – 2. 15. 35. cos 60° = 925.

Do đó AC = 925\sqrt{925} ≈ 30,4.

Mặt khác:

BC2 = AB2 + AC2 – 2. AB. AC . cos A

⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC\frac{AB^{2} + AC^{2}-BC^{2}}{2.AB . AC} = 152+925−3522.15.925≈−0,08\frac{15^{2} + 925-35^{2}}{2.15.\sqrt{925}} ≈ -0,08 .

⇒ A^≈95∘\widehat{A} ≈ 95^\circ

⇒ C^=180∘−(A^+B^)≈180∘−(95∘+60∘)=25∘\widehat{C} = 180^\circ- ( \widehat{A} + \widehat{B} ) ≈ 180^\circ- ( 95^\circ + 60^\circ ) = 25^\circ

Vậy tam giác ABC có:

A^≈95∘\widehat{A} ≈ 95^\circ ; B^=60∘\widehat{B} = 60^\circ ; C^≈25∘\widehat{C} ≈ 25^\circ .

AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35.

Bài 2: Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.

Hình ảnh minh họa SGK Toán 10

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – 2. 3. 4 . cos 120° = 37.

⇒ BC = 37\sqrt{37} ≈ 6,08 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có p=a+b+c2=12+15+232=502=25p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 15 + 23}{2} = \frac{50}{2} = 25 (cm).

Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:

S = p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c )}

S = 25.(25−12).(25−15).(25−23)=6500≈80,62\sqrt{25. ( 25-12 ) . ( 25-15 ) . ( 25-23 )} = \sqrt{6500} ≈ 80,62 (cm2).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm2.

Học tốt Hệ thức lượng trong tam giác

Các bài học để học tốt Hệ thức lượng trong tam giác Toán lớp 10 hay khác:

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Định lí côsin trong tam giác ABCABC: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B, c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. Hệ quả tính góc: cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.
  • Định lí sin trong tam giác ABCABC: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, với RR là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
  • Công thức độ dài đường trung tuyến: ma2=2(b2+c2)−a24m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}, mb2=2(a2+c2)−b24m_b^2 = \frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4}, mc2=2(a2+b2)−c24m_c^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}.
  • Các công thức tính diện tích tam giác: S=12aha=12absin⁡C=abc4R=pr=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, trong đó p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} là nửa chu vi, rr là bán kính đường tròn nội tiếp.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Câu 1: Khi nào thì áp dụng định lí Côsin, khi nào áp dụng định lí Sin để giải tam giác?
Áp dụng định lí Côsin khi: 1) Biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa (bài toán c-g-c) để tính cạnh thứ ba: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A. 2) Biết độ dài cả 3 cạnh (bài toán c-c-c) để tính các góc của tam giác: cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. Áp dụng định lí Sin khi: 1) Biết 1 cạnh và 2 góc kề (bài toán g-c-g hoặc c-g-g) để tính các cạnh còn lại. 2) Biết 2 cạnh và 1 góc đối diện để tính góc còn lại và bán kính ngoại tiếp RR.
Câu 2: Công thức Heron dùng để tính đại lượng nào của tam giác và điều kiện áp dụng thuận lợi nhất?
Công thức Heron dùng để tính diện tích tam giác S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (với p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} là nửa chu vi). Công thức này thuận lợi nhất khi biết độ dài cả 3 cạnh a,b,ca, b, c của tam giác mà độ dài này là các số nguyên hoặc số hữu tỉ đẹp, không cần phải qua bước tính góc hay chiều cao trung gian.
Câu 3: Mối quan hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp RR và nội tiếp rr trong các công thức diện tích?
Từ diện tích tam giác S=abc4R=prS = \frac{abc}{4R} = pr, ta rút ra được mối liên hệ: Bán kính đường tròn ngoại tiếp R=abc4SR = \frac{abc}{4S}, bán kính đường tròn nội tiếp r=Spr = \frac{S}{p}. Nhân hai biểu thức lại ta có mối liên hệ trực tiếp: R⋅r=abc4p=abc2(a+b+c)R \cdot r = \frac{abc}{4p} = \frac{abc}{2(a+b+c)}, cho phép tính nhanh bán kính rr khi biết RR và 3 cạnh tam giác.
Câu 4: Nêu nguyên lí ứng dụng hệ thức lượng để đo chiều cao một toà tháp mà chân tháp không tới được?
Chọn hai điểm quan sát AA và BB thẳng hàng với chân tháp CC trên mặt đất, đo khoảng cách d=ABd = AB. Dùng giác kế đo góc nâng từ AA lên đỉnh tháp DD là α\alpha, và từ BB lên đỉnh tháp DD là β\beta. Xét tam giác ABDABD: Ta biết cạnh AB=dAB = d, góc DAB^=α\widehat{DAB} = \alpha, góc DBA^=180∘−β⇒ADB^=β−α\widehat{DBA} = 180^\circ - \beta \Rightarrow \widehat{ADB} = \beta - \alpha. Áp dụng định lí Sin trong △ABD\triangle ABD: AD=d⋅sin⁡(180∘−β)sin⁡(β−α)=dsin⁡βsin⁡(β−α)AD = \frac{d \cdot \sin(180^\circ - \beta)}{\sin(\beta - \alpha)} = \frac{d \sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)}. Cuối cùng xét tam giác vuông ACDACD: Chiều cao tháp là CD=AD⋅sin⁡α=dsin⁡αsin⁡βsin⁡(β−α)CD = AD \cdot \sin\alpha = \frac{d \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)}.

Đề luyện tập theo bài

Toán 10 KNTT: Chương 3 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác: Đề 1 Nhận biết15 câu hỏi · Nhận biết
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 3 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác: Đề 2 Thông hiểu15 câu hỏi · Thông hiểu
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 3 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác: Đề 3 Vận dụng15 câu hỏi · Vận dụng
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 3 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác: Đề 4 Vận dụng cao15 câu hỏi · Vận dụng cao
Làm đề
Toán 10 KNTT: Chương 3 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác: Đề 5 Tổng hợp15 câu hỏi · Tổng hợp
Làm đề