MasterSchool
Đăng nhậpHS

Toán học lớp 9 · KNTT · Chương 4

Lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn thuộc Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá định nghĩa, định lí, công thức trọng tâm, phương pháp giải toán, hình vẽ minh hoạ, bảng so sánh và bài tập củng cố có đáp án chi tiết.

Lớp
6789
Môn
Toán họcNgữ vănTiếng AnhKhoa học tự nhiênLịch sử & Địa lýGiáo dục công dânTin họcCông nghệ

I. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Tam giác vuông ABC với góc nhọn α và các cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
Hình 1: Tam giác vuông ABC với góc nhọn α và các cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
Định nghĩa các tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α
Hình 2: Định nghĩa các tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α
So sánh tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau α và β (α + β = <span class=\1∘\1^\circ)" loading="lazy" />
Hình 3: So sánh tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau α và β (α + β = \1∘\1^\circ)
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (<span class=\1∘\1^\circ, \1∘\1^\circ, \1∘\1^\circ)" loading="lazy" />
Hình 4: Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (\1∘\1^\circ, \1∘\1^\circ, \1∘\1^\circ)

II. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Ứng dụng tỉ số lượng giác đo gián tiếp chiều cao cột cờ
Hình 5: Ứng dụng tỉ số lượng giác đo gián tiếp chiều cao cột cờ
Mô hình đo khoảng cách giữa hai điểm mốc không tới được
Hình 6: Mô hình đo khoảng cách giữa hai điểm mốc không tới được
Tam giác vuông trong bài toán thực tế góc nâng và góc hạ
Hình 7: Tam giác vuông trong bài toán thực tế góc nâng và góc hạ

III. Bảng tổng hợp & so sánh kiến thức trọng tâm

Tỉ số lượng giác Định nghĩa tỉ số cạnh Tính chất & Khoảng giá trị Mối liên hệ hai góc phụ nhau (α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ)
sin⁡α\sin \alpha Cạnh đoˆˊiCạnh huyeˆˋn\frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta
cos⁡α\cos \alpha Cạnh keˆˋCạnh huyeˆˋn\frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1 cos⁡α=sin⁡β\cos \alpha = \sin \beta
tan⁡α\tan \alpha Cạnh đoˆˊiCạnh keˆˋ\frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} tan⁡α>0\tan \alpha > 0 tan⁡α=cot⁡β\tan \alpha = \cot \beta
cot⁡α\cot \alpha Cạnh keˆˋCạnh đoˆˊi\frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}} cot⁡α>0\cot \alpha > 0 cot⁡α=tan⁡β\cot \alpha = \tan \beta

IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"

📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:

  • Kiến thức then chốt 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn α trong tam giác vuông: sin α = đối / huyền, cos α = kề / huyền, tan α = đối / kề, cot α = kề / đối.
  • Kiến thức then chốt 2: Mẹo ghi nhớ: Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn.
  • Kiến thức then chốt 3: Với góc nhọn α: 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, tan α > 0, cot α > 0 và tan α · cot α = 1.
  • Kiến thức then chốt 4: Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1; tan α = sin α / cos α; cot α = cos α / sin α.
  • Kiến thức then chốt 5: Định lí góc phụ nhau: Nếu α + β = 90° thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Tỉ số lượng giác của góc nhọn α trong tam giác vuông: sin α = đối / huyền, cos α = kề / huyền, tan α = đối / kề, cot α = kề / đối.
  • Mẹo ghi nhớ: Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn.
  • Với góc nhọn α: 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, tan α > 0, cot α > 0 và tan α · cot α = 1.
  • Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1; tan α = sin α / cos α; cot α = cos α / sin α.
  • Định lí góc phụ nhau: Nếu α + β = 90° thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Định nghĩa 4 tỉ số lượng giác của góc nhọn α\alpha trong tam giác vuông?
Trong tam giác vuông có góc nhọn α\alpha:
• sin⁡α=Cạnh đoˆˊiCạnh huyeˆˋn\sin \alpha = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}
• cos⁡α=Cạnh keˆˋCạnh huyeˆˋn\cos \alpha = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}
• tan⁡α=Cạnh đoˆˊiCạnh keˆˋ\tan \alpha = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}
• cot⁡α=Cạnh keˆˋCạnh đoˆˊi\cot \alpha = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}}
Nêu mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (lpha + eta = 90^\circ)?
Nếu hai góc phụ nhau (α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ) thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia:
sin⁡α=cos⁡β,cos⁡α=sin⁡β,tan⁡α=cot⁡β,cot⁡α=tan⁡β\sin \alpha = \cos \beta, \quad \cos \alpha = \sin \beta, \quad \tan \alpha = \cot \beta, \quad \cot \alpha = \tan \beta
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ?
• sin⁡30∘=cos⁡60∘=12;cos⁡30∘=sin⁡60∘=32\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}; \quad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
• sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
• tan⁡30∘=cot⁡60∘=33;tan⁡45∘=cot⁡45∘=1;tan⁡60∘=cot⁡30∘=3\tan 30^\circ = \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1; \quad \tan 60^\circ = \cot 30^\circ = \sqrt{3}
Chứng minh công thức lượng giác cơ bản sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1?
Xét tam giác vuông tại AA có góc nhọn α\alpha tại đỉnh BB, cạnh huyền aa, hai cạnh góc vuông b,cb, c.
Ta có: sin⁡α=ba\sin \alpha = \frac{b}{a} và cos⁡α=ca\cos \alpha = \frac{c}{a}.
Suy ra: sin⁡2α+cos⁡2α=b2a2+c2a2=b2+c2a2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{a^2} = \frac{b^2 + c^2}{a^2}.
Theo định lí Pythagore b2+c2=a2b^2 + c^2 = a^2, ta được: a2a2=1\frac{a^2}{a^2} = 1 (đpcm).