MasterSchool

Toán học lớp 9 · KNTT · Chương 5

Lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chương 5: Đường tròn · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn thuộc Chương 5: Đường tròn SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá định nghĩa, định lí, công thức trọng tâm, phương pháp giải toán, hình vẽ minh hoạ, bảng so sánh và bài tập củng cố có đáp án chi tiết.

Lớp

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) khi d < R (cắt nhau tại 2 điểm phân biệt)
Hình 1: Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) khi d < R (cắt nhau tại 2 điểm phân biệt)
Vị trí tương đối khi d = R (đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm duy nhất)
Hình 2: Vị trí tương đối khi d = R (đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm duy nhất)
Vị trí tương đối khi d > R (đường thẳng và đường tròn không giao nhau)
Hình 3: Vị trí tương đối khi d > R (đường thẳng và đường tròn không giao nhau)

II. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lí tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Hình 4: Định lí tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Hình 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài đường tròn
Hình 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài đường tròn

III. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

Tia kẻ từ điểm ngoài qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
Hình 7: Tia kẻ từ điểm ngoài qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm qua điểm ngoài là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm
Hình 8: Tia kẻ từ tâm qua điểm ngoài là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm

IV. Bảng tổng hợp & so sánh kiến thức trọng tâm

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức dd và RR Tính chất tiếp tuyến
Đường thẳng cắt đường tròn 2 điểm chung d<Rd < R Đường thẳng là cát tuyến
Đường thẳng tiếp xúc đường tròn 1 điểm chung duy nhất d=Rd = R Đường thẳng là tiếp tuyến, a⊥OCa \perp OC tại tiếp điểm CC
Đường thẳng không giao đường tròn 0 điểm chung d>Rd > R Đường thẳng ở ngoài đường tròn
Hai tiếp tuyến cắt nhau tại MM 2 tiếp điểm A,BA, B MA=MBMA = MB MOMO là phân giác AMB^\widehat{AMB}; OMOM là phân giác AOB^\widehat{AOB}

V. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"

📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:

  • Kiến thức then chốt 1: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn dựa vào khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng và bán kính R.
  • Kiến thức then chốt 2: Đường thẳng cắt đường tròn: d < R, có 2 điểm chung; đường thẳng tiếp xúc đường tròn: d = R, có 1 điểm chung duy nhất; không giao nhau: d > R, có 0 điểm chung.
  • Kiến thức then chốt 3: Định lí tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
  • Kiến thức then chốt 4: Dấu hiệu nhận biết: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến.
  • Kiến thức then chốt 5: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Điểm giao nhau cách đều hai tiếp điểm; tia nối điểm đó với tâm là tia phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn dựa vào khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng và bán kính R.
  • Đường thẳng cắt đường tròn: d < R, có 2 điểm chung; đường thẳng tiếp xúc đường tròn: d = R, có 1 điểm chung duy nhất; không giao nhau: d > R, có 0 điểm chung.
  • Định lí tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
  • Dấu hiệu nhận biết: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến.
  • Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Điểm giao nhau cách đều hai tiếp điểm; tia nối điểm đó với tâm là tia phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Nêu ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn theo khoảng cách dd và bán kính RR?
Gọi dd là khoảng cách từ tâm OO đến đường thẳng aa, RR là bán kính đường tròn (O)(O):
1. Đường thẳng cắt đường tròn: d<Rd < R (có 2 điểm chung, đường thẳng là cát tuyến).
2. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn: d=Rd = R (có đúng 1 điểm chung, đường thẳng là tiếp tuyến).
3. Đường thẳng không giao đường tròn: d>Rd > R (không có điểm chung nào).
Phát biểu định lí tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn?
• Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
• Dấu hiệu nhận biết: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Nêu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài đường tròn?
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) cắt nhau tại điểm MM, tiếp xúc tại AA và BB:
1. Điểm MM cách đều hai tiếp điểm: MA=MBMA = MB.
2. Tia MOMO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến AMB^\widehat{AMB}.
3. Tia OMOM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm AOB^\widehat{AOB}.
Cho đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và đường thẳng aa. Khoảng cách từ OO đến aa là 4 cm4\text{ cm}. Hỏi aa và (O)(O) có vị trí tương đối gì?
Ta có khoảng cách d=4 cmd = 4\text{ cm} và bán kính R=5 cmR = 5\text{ cm}.
Vì d<Rd < R (4<54 < 5), nên đường thẳng aa cắt đường tròn (O)(O) tại hai điểm phân biệt (đường thẳng aa là cát tuyến của đường tròn).

Đề luyện tập theo bài