Lý thuyết Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song

- Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α).

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong (α) thì d và (β) không có điểm chung, tức là d song song với (β). Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

Ví dụ: Hình ảnh về các mặt phẳng song song

-Các bậc cầu thang

- Mặt bàn và mặt nền phòng học

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.

• Tính chất của hai mặt phẳng song song:

-Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

- Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Gọi ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (AMN) và (A'B'C'). Chứng minh ∆ // BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: MN ⸦ (AMN)

B'C' ⸦ (A'B'C')

Mà MN // B'C' vì MN là đường trung bình của hình thang BB'C'C.

Suy ra ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (AMN) và (A'B'C') song song với MN và B'C'

Vậy ∆ // BC.

- Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Theo hình minh họa trên, ta có : $\frac{AB}{A ' B '} \text{} = \text{} \frac{BC}{B ' C '} \text{} = \text{} \frac{AC}{A ' C '}$ .

Ví dụ: Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới (ABCD) và mâm tầng trên (EFGH) song song với nhau. Bác thợ mộc đo được AE = 70 cm, CG = 80 cm và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa (IJKL) song song với hai mâm tầng trên và dưới sao cho khoảng cách EI = 35 cm (như hình vẽ dưới). Hãy giúp bác thợ mộc tính độ dài GK để đặt mâm tầng giữa cho kệ độ đúng vị trí.

Hướng dẫn giải

Ta có đường thẳng EA cắt ba mặt phẳng song song (EFGH), (IJKL), (ABCD) lần lượt tại E, I, A; đường thẳng GC cũng cắt ba mặt phẳng trên lần lượt tại G, K, C. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có :

$\frac{EI}{GK} = \frac{AE}{CG} = \frac{70}{80} = \frac{7}{8}$ .

Suy ra GK = $\frac{8}{7}$ EI = $\frac{8}{7}$ .35 = 40 (cm).

Vậy độ dài GK = 40 cm.

- Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) cho đa giác lồi A₁A_2…A_n. Qua các đỉnh A₁, A₂,…A_n vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng (α') tại A₁', A₂',…A_n'. Hình gồm hai đa giác A₁A_2…A_n, A₁'A₂'…A_n' và các tứ giác A₁A₁'A₂'A₂,…, A_nA_n' A₁'A₁ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là A₁A_2…A_n.A₁'A₂'…A_n'

+ Các điểm A₁, A₂,…A_n và A₁', A₂',…A_n' được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng A₁A₁', A₂A₂',…, A_nA_n' được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng A₁A₂, …, A_nA₁ và A₁'A₂', A₂'A₃', …, A_n' A₁' được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.

+ Hai đa giác A₁A_2…A_n và A₁'A₂'…A_n' được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

+ Các tứ giác A₁A₁'A₂'A₂,…, A_nA_n' A₁'A₁ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Chú ý: Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Chẳng hạn, hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ có đáy là tứ giác được gọi là hình lăng trụ tứ giác.

- Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

+ Các cặp điểm A và C', B và D', C và A', D và B' được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp.

+ Các đoạn thẳng AC', BD', CA' và DB' được gọi là các đường chéo của hình hộp.

+ Các cặp tứ giác ABCD và A'B'C'D', ADD'A' và BCC'B', ABB'A' và CDD'C' được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.

Nhận xét:

- Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường;

- Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy của hình hộp.

Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài 1: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ). Những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) chứa một đường thẳng song song với (β) thì (α) // (β).

b) Nếu (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

c) Nếu (α) và (β) song song với (γ) thì (α) song song với (β).

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì để (α) // (β) thì (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song (β).

b) Sai. Vì (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) có thể cắt nhau.

c) Đúng. Vì (α) và (β) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của SA, SD lần lượt là M, N. Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC).

Hướng dẫn giải

Ta có: Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình. Suy ra MO // AC

SD, BD có N và O lần lượt là trung điểm nên NO là đường trung bình của tam giác SBD. Suy ra NO // SB.

Do đó, NO // (SBC).

Ta có:

Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂B. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (BCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại C₁, D₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại D₁, D₂. Chứng minh AC₁ = C₁C₂ = C₂C và AD₁ = D₁D₂ = D₂D.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AC ta có: $\frac{AC_{1}}{AA_{1}} \text{} = \text{} \frac{C_{1}C_{2}}{A_{1}A_{2}} \text{} = \text{} \frac{C_{2}C}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B.

Suy ra: AC₁ = C₁C₂ = C₂C.

Chứng minh tương tự: Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AD ta có: $\frac{AD_{1}}{AA_{1}} \text{} = \text{} \frac{D_{1}D_{2}}{A_{1}A_{2}} \text{} = \text{} \frac{D_{2}D}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B

Suy ra: AD₁ = D₁D₂ = D₂D.

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra giao tuyến của (IBD) với (A'B'C'D') là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), gọi M là giao điểm của d và A'D'.

Suy ra, IM // BD // B'D'.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.