Lý thuyết Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là  $A \cup B$ . Biến cố hợp của A và B là tập con $A \cup B$  của không gian mẫu Ω.

Ví dụ 1. Một chiến hạm có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Chiến hạm sẽ bị chìm khi và chỉ khi:

- Hoặc có một quả ngư lôi bắn trúng bộ phận A;

- Hoặc có hai quả ngư lôi bắn trúng bộ phận B;

- Hoặc có ba quả ngư lôi bắn trúng bộ phận C.

Giả sử có hai quả ngư lôi bắn trúng chiến hạm. Xét hai biến cố K: “Hai quả trúng vào C”, H: “Một quả trúng vào B, một quả trúng vào C”.

Gọi M là biến cố: “Chiến hạm không bị chìm”. Chứng tỏ rằng M là biến cố hợp của H và K.

Hướng dẫn giải

Nếu biến cố H xảy ra thì B trúng một quả ngư lôi, C trúng một quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Nếu biến cố K xảy ra thì C trúng hai quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Ngược lại giả sử chiến hạm không bị chìm, khi đó cả hai quả hoặc trúng vào C (biến cố K xảy ra) hoặc chỉ một quả trúng vào B và quả còn lại không trúng A, tức là trúng C (biến cố H xảy ra).

Vậy M là biến cố hợp của H và K.

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu là AB.

Biến cố giao của A và B là tập con  $A \cap B$  của không gian mẫu Ω.

Ví dụ 2. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố: “a là ước của 28”, B là biến cố: “a là ước của 70”. Xét biến cố C: “a là ước của 14”. Chứng tỏ C là biến cố giao của A và B.

Hướng dẫn giải

Ta có A = {1; 2; 4; 7; 14; 28}, B = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}, C = {1; 2; 7; 14}.

Ta có  $A \cap B = { 1 ; 2 ; 7 ; 14 }$

Vậy C là biến cố giao của A và B.

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý. Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và  $\overline{B}$ ; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$  cũng độc lập.

Ví dụ 3. Có hai lọ hoa. Lọ I cắm 5 bông hoa hồng và 3 bông hoa cúc. Lọ II cắm 4 bông hoa hồng và 5 bông hoa thược dược. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ mỗi lọ một bông hoa. Xét hai biến cố sau:

A: “Lấy được bông hoa hồng từ lọ I”, B: “Lấy bông hoa hồng từ lọ II”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố độc lập.

Hướng dẫn giải

Dù A có xảy ra (lấy được bông hoa hồng) hay A không xảy ra (lấy được bông hoa cúc) ta đều có   $P ( B ) = \frac{4}{9}$

Dù B có xảy ra (lấy được được bông hoa hồng) hay B không xảy ra (lấy được bông hoa thược dược) ta đều có   $P ( A ) = \frac{5}{8}$

Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Vậy A và B là hai biến cố độc lập.

Bài tập Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 1. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố  $A \cup B$ và tính số kết quả thuận lời cho biến cố $A \cup B$

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A \cup B$  là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A \cup B$ là:  15+5 = 20

Bài 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ”, B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.

a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB.

b) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố  $\overline{A}B$ .

c) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố $A\overline{B}$

d) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố  $\overline{A} \overline{B}$

Hướng dẫn giải

Gọi Ω là không gian mẫu.

Suy ra  $\Omega = {(i ; \text{\,} j) | i , j = 1 ; \text{\,} 2 ; \text{\,} ... ; \text{\,} 6}$

Bài 3. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: “Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp”.

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F độc lập.

Hướng dẫn giải

Nếu F xảy ra thì  $P ( E ) = \frac{1}{4}$ ; nếu F không xảy ra thì $P ( E ) = \frac{1}{4}$

Nếu E xảy ra thì $P ( F ) = \frac{1}{2}$ ; nếu E không xảy ra thì $P ( F ) = \frac{1}{2}$

Vậy hai biến cố E và F độc lập.

Bài 4. Một chiếc túi có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Bạn Hoà rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi để sang bên cạnh. Tiếp theo, bạn Bình rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Xét hai biến cố sau:

M: “Bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

N: “Bạn Bình rút được tấm thẻ ghi số chẵn”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố M và N không độc lập.

Hướng dẫn giải

Có 6 số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9; 11} và 6 số chẵn là {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Nếu M xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 5 tấm thẻ ghi số lẻ và 6 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy  $P ( N ) = \frac{6}{11}$

Nếu M không xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số chẵn thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 6 tấm thẻ ghi số lẻ và 5 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy $P ( N ) = \frac{5}{11}$

Như vậy xác suất của N thay đổi tuỳ theo M xảy ra hay M không xảy ra.

Do đó hai biến cố M và N không độc lập.