Lý thuyết Toán 11 Bài 27: Thể tích

Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

• Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là   $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

• Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy bé S' và chiều cao h là   $V = \frac{1}{3} \cdot (S + S^{'} + \sqrt{S \cdot S^{'}}) \cdot h$

• Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S ∙ h.

Nhận xét:

• Thể tích của khối tứ diện bằng một phần ba tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.

• Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.

Ví dụ 1. Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì  $SO \perp ( ABCD )$  và góc giữa SA và (ABCD) bằng góc SAO bằng 60°.

Xét tam giác SAO vuông tại O, có  $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và   $\widehat{SAO} = 60 ^{\circ}$

Khi đó SO   $= AO \cdot tan\widehat{SAO} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot tan60 ^{\circ} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Do đó,  $V_{S . ABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ tam giác  $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$  có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh AA' = a và hình chiếu vuông góc H của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ   $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$

Hướng dẫn giải

Ta có A'H là đường cao của khối lăng trụ $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$ , tam giác ABC đều có đường cao AH nên ta tính được  $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} , AA^{'} = a$  và tam giác A'AH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta tính được   $A^{'}H = \frac{a}{2}$

Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên diện tích tam giác ABC bằng  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Vậy 

Ví dụ 3. Cho hình chóp cụt đều  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có đáy lớn ABCD là hình vuông cạnh bằng  $a\sqrt{2}$ , đáy nhỏ  $A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình vuông cạnh bằng   $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , các cạnh bên bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp cụt  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là giao điểm của AA' và CC'.

Vì  $A^{'}B^{'} = \frac{1}{2}AB$  và A'B' // AB nên A' là trung điểm của SA.

Từ đó, suy ra SA = SC = 2AA' = 2a.

Vì ABCD là hình vuông và  $AB = a\sqrt{2}$  nên AC = 2a.

Do đó, tam giác SAC đều, có đường cao SO.

Từ đó, ta tính được   $SO = a\sqrt{3}$

Vì A' là trung điểm của SA và  $SO \perp ( ABCD )$ nên chiều cao h của hình chóp cụt  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ bằng   $\frac{1}{2}SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ lần lượt là   $2a^{2} ; \frac{a^{2}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp cụt  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$   bằng 

Bài 1. Cho hình lăng trụ  $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$ có   $A^{'}B^{'}C^{'}$ và   $AA^{'}C^{'}$  là hai tam giác đều cạnh a. Biết  $(ACC^{'}A^{'}) \perp (A^{'}B^{'}C^{'})$ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ  $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$

Hướng dẫn giải

Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và  $\widehat{AOB} = 90 ^{\circ} ; \widehat{BOC} = 60 ^{\circ}$ ; $\widehat{COA} = 120 ^{\circ}$ . Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Hướng dẫn giải

Ta có:  $AB = a\sqrt{2} , BC = a , CA = a\sqrt{3}$ , tam giác ABC vuông tại B. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC, hay H là trung điểm của AC. Xét tam giác OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta tính được:  $OH = \frac{a}{2}$

Do đó 

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết  $SO \perp ( ABCD )$ ,  $AC = 2a\sqrt{3} , BD = 2a$  và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính theo A thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, OH vuông góc với SM tại H, ta chứng minh được  $OH \perp ( SBC )$ . Vì O là trung điểm của AC nên

Tam giác OBC vuông tại O, có  $OB = a , OC = a\sqrt{3}$ và đường cao OM nên   $OM = \frac{OB \cdot OC}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH nên $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OM^{2}} + \frac{1}{OS^{2}}$ , suy ra   $SO = \frac{a}{2}$

Bài 4. Cho hình lập phương  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có  $AC^{'} = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích của khối lập phương  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$

Hướng dẫn giải

Đường chéo của một hình lập phương là  $d = a\sqrt{3}$  là độ dài cạnh hình lập phương.

Dễ thấy rằng hình lập phương $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có  AC' là đường chéo và cạnh là AB.

Do đó   $AC^{'} = AB\sqrt{3} \Rightarrow AB = \frac{AC^{'}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = a$

Vậy thể tích khối lập phương là V = a³.

Bài 5. Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều   có chiều cao bằng 3a,    $AB = 4a , A^{'}B^{'} = a$

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác đều ABC là: $S = \frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{(4a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 4a^{2}\sqrt{3}$ .

Diện tích tam giác đều A'B'C' là: $S^{'} = \frac{A^{'}{B^{\prime}}^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ .

Thể tích khối chóp cụt: