Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn là 0

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $limn \to \text{} + ∞ \text{} u_{n} \text{} = \text{} 0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

+) $limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{1}{n^{k}} \text{} = \text{} 0$ với k là một số nguyên dương;

+) $limn \to \text{} + ∞ \text{} q^{n} \text{}$ = 0 nếu |q| < 1;

+) Nếu |u_n| ≤ v_n với mọi n ≥ 1 và $limn \to \text{} + ∞ \text{} v_{n} \text{}$ = 0 thì $limn \to \text{} + ∞ \text{} u_{n} \text{}$ = 0.

Ví dụ: Xét dãy số u_n = $\frac{1}{n^{3}}$ . Tìm giới hạn của dãy số?

Hướng dẫn giải

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì |u_n|= $\frac{1}{n^{3}}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Chẳng hạn, để |u_n| < 0,0001 tức là $\frac{1}{n^{3}}$ < 10^-4, ta cần n³ > 10000 hay n > 21,54. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 22 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu $limn \to \text{} + ∞ \text{}$ (u_n-a) = 0, kí hiệu $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = a hay u_n → a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = c.

Ví dụ: Xét dãy số (u_n) với u_n = $\frac{3n \text{} + \text{} 1}{n}$ . Tìm giới hạn của dãy số?

Hướng dẫn giải

Ta có: u_n – 3 = $\frac{3n \text{} + \text{} 1}{n}$ – 3 =

Do vậy $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = 3.

Các quy tắc tính giới hạn:

a) Nếu $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = a và $limn \to \text{} + ∞v_{n}$ = b thì

$limn \to \text{} + ∞$ (u_n+v_n) = a+b;

$limn \to \text{} + ∞$ (u_n-v_n) = a-b;

$limn \to \text{} + ∞$ (u_n.v_n) = a.b;

$limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \text{} \frac{a}{b}$ (nếu b ≠ 0).

b) Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = a thì

a ≥ 0 và $limn \to + ∞\sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) $limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{2n^{2} \text{} + n \text{} + \text{} 1}{n^{2}}$ ;

b) $limn \to + ∞\frac{\sqrt{3n^{2} + 2}}{n + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta có:

a) $limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{2n^{2} \text{} + n \text{} + \text{} 1}{n^{2}} \text{} = \text{} limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{2 \text{} + \frac{1}{n} \text{} + \text{} \frac{1}{n^{2}}}{1} \text{}$

=

b) $limn \to + ∞\frac{\sqrt{3n^{2} + 2}}{n + 1}$ =

$= limn \to + ∞\frac{\sqrt{3 + 2.\frac{1}{n^{2}}}}{1 + \frac{1}{n}}$ =

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với công bội q. Khi đó

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n =

Vì |q| < 1 nên qⁿ → 0 khi n → +∞. Do đó, ta có:

$limn \to \text{} + ∞ \text{} S_{n} = \text{} limn \to \text{} + ∞ \text{}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) và kí hiệu là

S = u₁ + u₂ + … + u_{n + ….}

Như vậy

S = $\frac{u_{1} \text{}}{1 \text{} - \text{} q}$ (|q|<1).

Ví dụ: Tính tổng

Hướng dẫn giải

Tổng S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u­₁ = $-\frac{1}{4}$ và q = $-\frac{1}{4}$ .

Do đó,

- Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→ +∞ nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = +∞ hay u_n → +∞ khi n→ +∞.

- Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn –∞ khi n→ +∞ nếu $limn \to \text{} + ∞$ (-u_n)= +∞, kí hiệu $limn \to \text{} + ∞$ (u_n) = –∞, hay u_n → – ∞ khi n→ +∞.

Theo định nghĩa trên, ta có:

$limn \to \text{} + ∞$ (n^k) = +∞, với k là số nguyên dương;

$limn \to \text{} + ∞$ (qⁿ) = +∞, với q > 1.

Một số quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số:

+ Nếu $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = a và $limn \to \text{} + ∞v_{n} = \text{} + ∞$ (hoặc $limn \to \text{} + ∞v_{n} = \text{} -∞$ ) thì $limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{u_{n}}{v_{n}}$ = 0.

+ Nếu $limn \to \text{} + ∞u_{n}$ = a > 0 và $limn \to \text{} + ∞v_{n}$ = 0 và v_n > 0 với mọi n thì $limn \to \text{} + ∞ \text{} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \text{} + ∞$ .

+ Nếu $limn \to \text{} + ∞u_{n} = \text{} + ∞$ và $limn \to \text{} + ∞v_{n}$ = a > 0 thì $limn \to \text{} + ∞ \text{} u_{n \text{}} \text{} \cdot \text{} v_{n} = \text{} + ∞$ .

Ví dụ: Tính

Hướng dẫn giải

Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $limn \to \text{} + ∞$ (2n³-3n+2);

b) $limn \to + ∞\frac{2n + 1}{n-2}$ ;

c)

Hướng dẫn giải

a) $limn \to \text{} + ∞$ (2n³-3n+2) = $limn \to + ∞$

Vì $limn \to + ∞n^{3} = + ∞$ và

b) $limn \to + ∞\frac{2n + 1}{n-2} \text{} = \text{} limn \to + ∞\frac{2 + \frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}} \text{}$ = 2.

c)

$= \text{} limn \to + ∞\frac{4 \text{} + \text{} \frac{3}{n} \text{} + \text{} \frac{1}{n^{2}}}{9 \text{} - \text{} \frac{6}{n} \text{} + \text{} \frac{1}{n^{2}}} \text{} = \text{} \frac{4}{9}$

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $limn \to \text{} + ∞u_{n} = \text{} 3$ và $limn \to \text{} + ∞v_{n} = \text{} 5$ . Tìm giới hạn của: $limn \to \text{} + ∞\frac{v_{n}^{2}}{v_{n} \text{} - \text{} u_{n} \text{}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $limn \to \text{} + ∞v_{n} = \text{} 5$ , do đó $limn \to \text{} + ∞v_{n}^{2} =$ $limn \to \text{} + ∞$ (v_n . u_n) = 5.5 = 25.

$limn \to \text{} + ∞$ (v_n - u_n) = 5-3 = 2.

Vậy $limn \to \text{} + ∞\frac{v_{n}^{2}}{v_{n} \text{} - \text{} u_{n} \text{}}$ = $\frac{25}{2}$ .

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;

Hướng dẫn giải

u_n là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = $\frac{-1}{3}$ .

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_{1} \text{}}{1 \text{} - \text{} q}$ = $\frac{3 \text{}}{1 \text{} + \text{} \frac{1}{3}} \text{} = \text{} \frac{9}{4}$ .

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow u_{1}^{2} \text{} \cdot \text{} \frac{1}{1-q^{2}} \text{} = \text{} 448$

⇒

Suy ra: q = $\frac{3}{4}$ .

Ta tìm được: u₁ = 14.