Lý thuyết Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài toán 1. Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Một vật di chuyển trên một đường thẳng. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t₀ đến t là  $\frac{s(t) - s(t_{0})}{t - t_{0}}$ .

Bài toán 2. Cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t₀ đến t là   $\frac{Q(t) - Q(t_{0})}{t - t_{0}}$

Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học, ... đưa đến Víệc tìm giới hạn dạng

  $limx \to x_{0}\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm   $x_{0} \in ( a ; b )$

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

  $limx \to x_{0}\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu bởi  $f^{'}(x_{0})$  (hoặc  $y^{'}(x_{0})$ , tức là

  $f^{'}(x_{0}) = limx \to x_{0}\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm  $x_{0} \in ( a ; b )$ , ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính  $f ( x ) - f(x_{0})$

2. Lập và rút gọn tỉ số  $\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$  với  $x \in ( a ; b ) , x \ne x_{0}$

3. Tìm giới hạn   $limx \to x_{0}\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số  $y = x + \sqrt{x - 1}$  tại điểm   $x_{0} = 2$

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là   $D = [ 1 ; + \infty )$

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm  $f^{'} ( x )$  tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là   $y^{'} = f^{'} ( x )$

Lưu ý:   $( c)^{'} = 0 ; ( x)^{'} = 1 ; (cx^{2})^{'} = 2cx$

Chú ý. Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t) thì  $v ( t ) = f^{'} ( t )$  là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ . Chứng minh rằng   $y^{'} ( x ) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} \text{\,\,} ( x \ne 0 )$

Hướng dẫn giải

Với  $x_{0} \ne 0$ , ta có:

4.1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Chú ý: Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm  $(x_{1} ; y_{1})$ và  $(x_{2} ; y_{2})$ , với  $x_{1} \ne x_{2}$ , là  $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm  $P(x_{0} ; f(x_{0}))$  là đường thẳng đi qua P với hệ số góc  $k = limx \to x_{0}\frac{f ( x ) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$  nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là $k = f^{'}(x_{0})$ . Điểm P gọi là tiếp điểm.

Nhận xét. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm  $P(x_{0} ; f(x_{0}))$  là đạo hàm  $f^{'}(x_{0})$ .

Ví dụ 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm có hoành độ  $x_{0} = \frac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có 

Hệ số góc tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm có hoành độ  $x_{0} = \frac{1}{2}$  là   $k = y^{'}(\frac{1}{2}) = 1$

Chú ý: Có thể sử dụng công thức đạo hàm  $(x^{2})^{'} = 2x$ , ta tìm được  $k = y^{'}(\frac{1}{2}) = 1$ .

4.2. Phương trình tiếp tuyến

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta rút ra kết luận sau:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  $P(x_{0} ; y_{0})$  là   $y - y_{0} = f^{'}(x_{0})(x - x_{0})$ , trong đó  $y_{0} = f(x_{0})$ .

Ví dụ 4. Cho hàm số  $y = ( 2x + 1 )^{2}$ .

a) Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm  $x_{0} = - 1$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm   $A ( - 1 ; 1 )$

Hướng dẫn giải

Bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)   $f ( x ) = x^{2} + \sqrt{x}$

b)  $f ( x ) = \frac{x}{x - 1}$ với   $x \ne 1$

Hướng dẫn giải

a) Với bất kì  $x_{0} > 0$ , ta có:

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Hướng dẫn giải

+ Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

+ Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

+ Ta có f(x) – f(2) = |x – 2| – |2 – 2| = |x – 2|.

Với x ≠ 2, ta có   $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = \frac{| x - 2 |}{x - 2}$

Do đó, không tồn tại   $limx \to 2\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 3. Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình  $s(t) = 196t - 4 , 9t^{2}$ trong đó t>0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Ta tính được  $s^{'}(t) = 196 - 9 , 8t .$

Vận tốc của viên đạn 

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng  $h = s(20) = 196 \cdot 20 - 4 , 9 \cdot 20^{2} = 1960 \text{\,\,} ( \text{m)} .$

Bài 4. Cho hàm số   $y = \frac{8}{x} , x \ne 0$

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ bất kì $x_{0} \ne 0$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ   $x_{0} = 2$

Hướng dẫn giải

a) Với  $x_{0} \ne 0$ bất kì, ta có:

b) Với  $x_{0} = 2$ ta có   $y_{0} = 4$ và   $y^{'} ( 2 ) = - 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ  $x_{0} = 2$  là:

y - 4= - 2(x-2) = -2x + 4 hay y =-2x + 8