Lý thuyết Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

· Cho a là số thực dương khác 1.

Hàm số y=a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

· Hàm số mũ y=a^x : 

- Có tập xác định là  $\mathbb{R}$ và tập giá trị là (0; + $\infty$ );

- Đồng biến trên $\mathbb{R}$   khi a > 1 và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi 0 < a < 1;

- Liên tục trên $\mathbb{R}$ ;

- Có đồ thị đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và luôn nằm phía trên trục hoành.

Dạng đồ thị của hàm số y=a^x

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số  $y = (\sqrt{2})^{x}$

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y = (\sqrt{2})^{x}$ như hình sau:

• Cho a là số thực dương khác 1.

Hàm số $y = log_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

• Hàm số lôgarit $y = log_{a}x$ :

- Có tập xác định là (0; + $\infty$ ) và tập giá trị là $\mathbb{R}$ ;

- Đồng biến trên (0; + $\infty$ ) khi a > 1 và nghịch biến trên (0; + $\infty$ ) khi 0 < a < 1;

- Liên tục trên (0; + $\infty$ ) ;

- Có đồ thị đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và luôn nằm bên phải trục tung.

Dạng đồ thị của hàm số $y = log_{a}x$

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y = log_{\sqrt{3}}x$                 

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y = log_{\sqrt{3}}x$  như hình sau:

Bài tập Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số  $y = (\frac{3}{2})^{x}$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $\mathbb{R}$

Do $\frac{3}{2} > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Bảng giá trị:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình dưới đây.

Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm số  $y = log_{\frac{2}{3}}x$

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số  $y = log_{\frac{2}{3}}x$ như hình sau:

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)  $y = 12^{x}$ ;

b)  $y = log_{5}(2x - 3)$ .

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y = 12^{x}$  là $\mathbb{R}$ .

b) Hàm số $y = log_{5}(2x - 3)$  xác định khi 2x - 3 > 0  hay  $x > \frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số $y = log_{5}(2x - 3)$  là  $D = (\frac{3}{2} ; + \infty )$ .

Bài 4. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức $D(t) = D_{0} \cdot a^{t} \text{\,\,} ( mg )$ , trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Hướng dẫn giải

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, mà D₀ là hằng số dương, do đó 0 < a < 1.

b) Bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc nên D₀ = 100.

Vì sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg nên với t = 1, ta có:

D(1) = 100a¹ = 80, suy ra  $a = \frac{80}{100} = 0 , 8$ .

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn  $D(5) = 100 \cdot 0 , 8^{5}$ . Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là 

$\frac{D_{0} - D(5)}{D_{0}} = \frac{100 - 100 \cdot 0 , 8^{5}}{100} \approx 0 , 6723 \approx 67 , 23\%$