Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan (a-b) = $\frac{tana-tanb}{1 + tanatanb}$

tan (a+b) = $\frac{tana + tanb}{1 - tanatanb}$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin

Hướng dẫn giải

Ta có

sin

= -sin $\pi$ cos $\frac{\pi}{6}$ - cos $\pi$ sin $\frac{\pi}{6}$ = -0. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - (-1). $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ .

Ta có

tan15^o = tan(60^o - 45^o) = $\frac{tan60^\circ-tan45^\circ}{1 + tan60^\circ . tan45^\circ}$

$= \frac{\sqrt{3}-1}{1 + \sqrt{3}.1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3} + 1} = 2-\sqrt{3}$

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos² – 1 = 1 – 2sin²a

tan2a = $\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$ .

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

$cos^{2}a = \frac{1 + cos2a}{2}$

$sin^{2}a = \frac{1-cos2a}{2}$ .

Ví dụ: Biết sinα = $\frac{2}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi}{2}$ . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < $\frac{\pi}{2}$ nên cosα > 0.

Ta có:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 – sin²α = 1-

⇒ cosα = $\frac{\sqrt{21}}{5}$ .

Ta có: sin2α = 2sinα cosα = $2.\frac{2}{5} . \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{4\sqrt{21}}{25}$

cos2α = 1 – 2sin²α = 1 - 2.

$tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

⇒ tan $2 \alpha = \frac{2tan \alpha}{1-tan^{2} \alpha} =$

cosacosb = $\frac{1}{2}$ [cos(a-b) + cos(a+b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$ [cos(a-b) - cos(a+b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$ [sin(a-b) + sin(a+b)].

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

a) A = $sin\frac{7 \pi}{12}cos\frac{5 \pi}{12}$ ;

b) B = $sin\frac{\pi}{12}sin\frac{7 \pi}{12}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy A = $\frac{1}{4}$ .

b) Ta có:

Vậy B = $\frac{1}{4}$ .

cosu + cosv = 2cos $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

cosu - cosv = -2sin $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$

sinu + sinv = 2sin $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

sinu - sinv = 2cos $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$ .

Ví dụ: ChoA = cos $\frac{\pi}{17}$ .cos $\frac{4 \pi}{17}$ và B = cos $\frac{3 \pi}{17}$ + cos $\frac{5 \pi}{17}$ . Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

B = cos $\frac{3 \pi}{17}$ + cos $\frac{5 \pi}{17}$ = 2.cos $\frac{\frac{3 \pi}{17} + \frac{5 \pi}{17}}{2}$ .cos $\frac{\frac{3 \pi}{17}-\frac{5 \pi}{17}}{2}$

= 2.cos $\frac{4 \pi}{17}$ .cos

Suy ra $\frac{A}{B} = \frac{cos\frac{\pi}{17} . cos\frac{4 \pi}{17}}{cos\frac{3 \pi}{17} + cos\frac{5 \pi}{17}} = \frac{cos\frac{\pi}{17} . cos\frac{4 \pi}{17}}{2cos\frac{4 \pi}{17} . cos\frac{\pi}{17}} = \frac{1}{2}$ .

Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3 \pi}{2}$ <a<2 $\pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3 \pi}{2}$ <a<2 $\pi$ nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 -

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2.

Ta có: tana = $\frac{sina}{cosa} = -\sqrt{15}$

⇒ $tan2a = \frac{2tana}{1-tan^{2}a}$ =

Bài 2. Tính

a) sin

b) cos $\frac{3 \pi}{8}$ .cos $\frac{\pi}{8}$ + sin $\frac{3 \pi}{8}$ .sin $\frac{\pi}{8}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a< $\frac{\pi}{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Vậy sin

Suy ra: $cos\frac{3 \pi}{8} . cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{3 \pi}{8} . sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 3. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin $\frac{13 \pi}{24}$ sin $\frac{5 \pi}{24}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos $\frac{-15^\circ + 255^\circ}{2}$ .cos $\frac{-15^\circ-255^\circ}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Ta có:

Vậy $sin\frac{13 \pi}{24}sin\frac{5 \pi}{24} = \frac{1 + \sqrt{2}}{4}$ .