Lý thuyết Toán 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Chú ý:

+ Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

+ Để ký hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

Ví dụ: mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α) như sau:

• Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu A ∈ (P).

Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu B ∉ (P).

Nếu A ∈ (P) ta còn nói A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.

Chú ý: Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

Ví dụ:

- Hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật:

- Hình biểu diễn của hình lập phương:

- Hình biểu diễn của hình chóp tam giác đều:

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2:Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là (ABC). Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.

Ví dụ: Cho 4 điểm S, A, B, C không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?

Hướng dẫn giải

Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho, đó là các mặt phẳng: (SAB), (SAC), (SBC) và (ABC).

Tính chất 4: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là d ⸦ (P) hoặc (P) ⸧ d.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và một điểm N thuộc phần kéo dài của đường thẳng BC.

a) Điểm N có thuộc mặt phẳng (ABC) không?

b) Đường thẳng AN có nằm trong mặt phẳng (ABC) không?

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng BC có hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (ABC). Do N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (ABC).

b) Đường thẳng AN có hai điểm phân biệt A và N thuộc mặt phẳng (ABC), nên đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (ABC).

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Chú ý: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và ký hiệu là d = (P) ∩ (Q).

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới dây, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β), kí hiệu là d = (α) ∩ (β).

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý: Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là mp(A, d). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a, b).

Ví dụ: Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b; gọi E là điểm không thuộc mp (a, b). Xác định giao tuyến của mp (E, a) và mp (E, b)?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của a và b.

Vì O thuộc đường thẳng a nên O thuộc mp (E, a)

Vì O thuộc đường thẳng b nên O thuộc mp (E, b)

Hai điểm E, O cùng thuộc mp (E, a) và mp (E, b) nên giao tuyến của hai mặt phẳng mp (E, a) và mp (E, b) là đường thẳng EO.

4.1. Hình chóp

- Cho đa giác lồi A₁A₂…A_n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A₁, A₂,…,A_n để được n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁. Hình gồm n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁ và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là hình chóp và kí hiệu là SA₁A₂…A_n.

- Trong hình chóp SA₁A₂…A_n, điểm S được gọi là đỉnh và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là mặt đáy; các tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …, SA_nA₁ được gọi là các mặt bên; các cạnh SA₁, SA₂, …, SA_n được gọi là các cạnh bên; các cạnh A₁A₂, A₂A₃, …, A_nA₁ được gọi là các cạnh đáy.

Chú ý: Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD. Hình chóp đó có bao nhiêu cạnh. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp?

Hướng dẫn giải

Hình chóp S.ABCD:

- Có 8 cạnh là SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA.

- Có 4 mặt bên là các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA.

- Có 1 mặt đáy là tứ giác ABCD.

4.2. Hình tứ diện

- Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD.

- Trong hình tứ diện ABCD, các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, C, DA, AC, BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tứ diện.

- Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Nhận xét: Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.

Chú ý: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Ví dụ: Khối rubik tam giác là hình ảnh của một hình tứ diện.

Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đáy S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

b) MO là giao tuyến của (SAC) và (MBD).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có

Vì O = AC ∩ BD nên

Từ (1) và (2) suy ra : SO = (SAC) ∩ (SBD).

b) Vì M ∈ SA nên M ∈ (SAC) nên M là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBD)

Vì O = AC $∩$ BD nên

Suy ra: MO = (SAC) ∩ (MBD).

Bài 2: Cho các mệnh đề dưới đây, các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích

a) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (α) thì a nằm trong (α).

b) Nếu a và b đều cùng nằm trong (α) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (α).

c) Hình tứ diện là hình chóp tứ giác.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì theo tính chất thừa nhận.

b) Đúng. Vì giả sử giao điểm của a và b là M, vì M thuộc a và a nằm trong (α) nên M thuộc (α).

c) Sai. Vì hình tứ diện là hình chóp tam giác.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNI) và (BCD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là giao điểm của MN và BC.

Ta có:

Vì E là giao điểm của MN và BC nên:

Từ (1) và (2) suy ra : IE = (MNI) ∩ (BCD).