Lý thuyết Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

1.1. Biến cố xung khắc

Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi   $A \cap B = \emptyset$

Ví dụ 1. Một ban văn nghệ có 20 người, trong đó có 8 nam và 12 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 người để tập múa. Xét các biến cố sau:

M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3”;

N: “Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3”;

P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3”.

Trong ba biến cố M, N, P, hai biến cố nào là xung khắc?

Hướng dẫn giải

Biến cố  M xảy ra thì số nam được chọn phải là 4 người hoặc 5 người.

Biến cố N xảy ra thì số nam được chọn phải là 3 người hoặc 4 người hoặc 5 người.

Biến cố P xảy ra thì số nam được chọn phải là 0 người hoặc 1 người hoặc 2 người hoặc 3 người.

Ta thấy M ∩ P = ∅.

Vậy hai biến cố M và P là xung khắc.

1.2. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì   $P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B )$

Ví dụ 2. Một tổ công nhân có 5 nam và 6 nữ. Cần chọn ngẫu nhiên hai công nhân đi thực hiện một nhiệm vụ mới. Tính xác suất của biến cố “Cả hai công nhân được chọn cùng giới tính”.

Hướng dẫn giải

Số kết quả chọn được hai công nhân bất kì là  $C_{11}^{2} = 55$

Gọi A là biến cố “Hai công nhân được chọn là nam”, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là   $C_{5}^{2} = 10$

Gọi B là biến cố “Hai công nhân được chọn là nữ”, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_{6}^{2} = 15$

Do đó $A \cup B$ là biến cố “Cả hai công nhân được chọn có cùng giới tính”. Do A và B là hai biến cố xung khắc nên: 

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có: 

Công thức này được gọi là công thức cộng xác suất.

Ví dụ 3. Trong một thùng phiếu bốc thăm trúng thưởng có 30 lá phiếu được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Người ta rút ra từ thùng phiếu một lá thăm bất kì. Tính xác suất của biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4”.

Từ 1 đến 30 có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A, nên  $P(A) = \frac{7}{30}$

Gọi B là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 30 có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B, nên   $P(B) = \frac{6}{30}$

Một số chia hết cho cả 4 và 5 thì nó chia hết cho 20, từ 1 đến 30 có 1 kết quả, nên  $P(AB) = \frac{1}{30}$

Bài tập Công thức cộng xác suất

Bài 1. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Cả hai viên bi có màu xanh”; B là biến cố: “Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Hướng dẫn giải

Vậy   $P ( A ) = \frac{28}{91} , P ( B ) = \frac{48}{91}$

b) Cách 1: Xét biến cố C: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh”, nên C là biến cố hợp của A và B. Do A và B là hai biến cố xung khắc.

Cách 2: Xét biến cố đối  $\overline{C}$ : “Cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”.

Khi đó  $n ( \overline{C} ) = C_{6}^{2} = 15$ . Suy ra  $P ( \overline{C} ) = \frac{15}{91}$

Vậy   $P ( C ) = 1 - P ( \overline{C} ) = 1 - \frac{15}{91} = \frac{76}{91}$

Bài 2. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

Do A và B xung khắc nên  

Ta có:  

Suy ra   $P ( A ) = \frac{300}{630} ; P ( B ) = \frac{55}{630}$

Bài 3. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là:  $\overline{abc}$

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1: c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là  $A_{5}^{2} = 20$

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2:   $c \in {2 ; \text{\,} 4}$ , nên c có 2 cách chọn.

$a \ne 0 ; \text{\,} c$  nên a có 4 cách chọn.

$b \ne a ; \text{\,} c$ , nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1: c = 0, nên  c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là   $A_{5}^{2} = 20$

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a \ne 0 ; \text{\,} c$ nên a có 4 cách chọn.

$b \ne a ; \text{\,} c$ , nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy   $C = A \cup B$

Không gian mẫu: n(Ω) =  $5 \cdot A_{5}^{2} = 100$  Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$ , P(B) =   $\frac{36}{100}$ .

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) =   $\frac{20}{100}$