Lý thuyết Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

1.1. Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*)

Hàm số  $y = x^{n}(n \in \mathbb{N}^{*})$  có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và    $(x^{n})^{'} = nx^{n - 1}$

1.2. Đạo hàm của hàm số y =  $\sqrt{x}$

Hàm số $y = \sqrt{x}$  có đạo hàm trên khoảng  $y = \sqrt{x}$ và  $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó

Chú ý

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

• Với k là một hằng số, ta có:   $( ku)^{'} = ku^{'}$

• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo:  $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} \text{\,\,\,} ( v = v ( x ) \ne 0 )$

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các hàm số

Hướng dẫn giải

3.1. Khái niệm hàm số hợp

Giả sử u = g(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c; d) và y = f(u) là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x).

3.2. Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm  $u^{' x}$  tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm  $y^{' u}$  tại u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm $y^{' x}$  tại x là

  $y^{' x} = y^{' u} \cdot u^{' x} .$

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y = (\frac{2x + 1}{x - 1})^{3}$                                  b) $y = \sqrt{3x^{2} - 2x + 1}$

Hướng dẫn giải

4.1. Đạo hàm của hàm số y = sin x

• Hàm số y = sin x có đạo hàm trên  $\mathbb{R}$ và   $( sinx)^{'} = cosx$

• Đối với hàm số hợp y = sin u, với u = u(x), ta có:   $( sinu)^{'} = u^{'} \cdot cosu$

4.2. Đạo hàm của hàm số y = cos x

• Hàm số y = cos x có đạo hàm trên  $\mathbb{R}$ và   $( cosx)^{'} = - sinx$

• Đối với hàm số hợp y = cos u, với u = u(x), ta có:   $( cosu)^{'} = - u^{'} \cdot sinu$

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)   $y = sin2x + cos5x$

b)   $y = sinx \cdot cos4x$

Hướng dẫn giải

4.3. Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi  $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \text{\,\,} ( k \in \mathbb{Z} )$ và   $( tanx)^{'} = \frac{1}{cos^{2}x}$

• Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi  $x \ne k\pi \text{\,\,} ( k \in \mathbb{Z} )$  và   $( cotx)^{'} = - \frac{1}{sin^{2}x}$

• Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u, với u = u(x), ta có

  $( tanu)^{'} = \frac{u^{'}}{cos^{2}u} ; \text{\,\,\,} ( cotu)^{'} = - \frac{u^{'}}{sin^{2}u} \text{~~}$    (giả thiết tan u và cot u có nghĩa).

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

  $a ) y = tan(2x + 1) ; b ) y = cot(3x^{2} - 5) .$

Hướng dẫn giải

5.1. Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chú ý:

•   $limt \to + \infty (1 + \frac{1}{t})^{t} = e$

•   $limt \to - \infty (1 + \frac{1}{t})^{t} = e$

Nhận xét. Ta có các giới hạn sau:

  $limx \to 0( 1 + x )^{\frac{1}{x}} = e ; limx \to 0\frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 ; limx \to 0\frac{e^{x} - 1}{x} = 1.$

5.2. Đạo hàm của hàm số mũ

• Hàm số $y = e^{x}$ có đạo hàm trên   $\mathbb{R}$ và   $(e^{x})^{'} = e^{x}$

Đối với hàm số hợp  $y = e^{u}$ , với u = u(x), ta có:   $(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$

• Hàm số  $y = a^{x} ( 0 < a \ne 1 )$ có đạo hàm trên   $\mathbb{R}$ và   $(a^{x})^{'} = a^{x}lna$

Đối với hàm số hợp  $y = a^{u}$ , với u = u(x), ta có:   $(a^{u})^{'} = a^{u} \cdot u^{'} \cdot lna$

5.3. Đạo hàm của hàm số lôgarit

• Hàm số y = ln x có đạo hàm trên khoảng  $( 0 ; + \infty )$ và   $( lnx)^{'} = \frac{1}{x}$

Đối với hàm số hợp y = ln u, với u = u(x), ta có:   $( lnu)^{'} = \frac{u^{'}}{u}$

• Hàm số $y = log_{a}x$ có đạo hàm trên khoảng $( 0 ; + \infty )$ và  $(log_{a}x)^{'} = \frac{1}{xlna}$

Đối với hàm số hợp  $y = log_{a}u$ , với u = u(x), ta có:   $(log_{a}u)^{'} = \frac{u^{'}}{ulna}$

Chú ý. Với x < 0, ta có:  $ln | x | = ln ( - x )$ và   $[ ln ( - x ) ]^{'} = \frac{( - x)^{'}}{- x} = \frac{1}{x}$ . Từ đó ta có:

  $( ln | x | )^{'} = \frac{1}{x} , \forall x \ne 0$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)   $y = ln^{2} ( 3x + 2 )$

b)  $y = \frac{1}{e^{3x} - 1}$

Hướng dẫn giải

Bài tập Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y = (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})^{2} ;$                                 b)   $y = (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^{2} .$

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y = \frac{1 - \sqrt[3]{x}}{1 + \sqrt[3]{x}}$ với x>0 ;

b)  $y = (1 + x - 2x^{2})(2 - x^{2} + \frac{x^{3}}{3})$ .

Hướng dẫn giải

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)   $y = (sinx + 2cosx)(sinx - 2cosx + 1)$

b)   $y = \frac{tanx - 1}{cotx + 2}$

Hướng dẫn giải

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)   $y = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$

b)   $y = (3lnx + 2)(2log_{3}x - 5)$

Hướng dẫn giải

Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm   $x_{0} = \frac{\pi }{4}$

a)  $f ( x ) = 2sinx$

b)   $g ( x ) = cot(x + \frac{\pi }{4})$

Hướng dẫn giải

a)   $f^{'} ( x ) = 2 ( sinx)^{'} = 2cosx$

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm  $x_{0} = \frac{\pi }{4}$  là:  $f^{'}(\frac{\pi }{4}) = 2cos(\frac{\pi }{4}) = \sqrt{2}$

Bài 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình  $s ( t ) = 6sin(3t + \frac{\pi }{4})$ , trong đó  t>0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm   $t = \frac{\pi }{6} ( s )$

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là:   $v ( t ) = s^{'} ( t ) = 18cos(3t + \frac{\pi }{4})$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t = \frac{\pi }{6} ( s )$  là:

  $v(\frac{\pi }{6}) = 18cos(3 \cdot \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4}) = - 9\sqrt{2} \text{\,\,(cm/s)} .$