Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là ℝ.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là ℝ.

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{sinx}{cosx}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx.

Tập xác định của hàm số tang là R\

.

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{cosx}{sinx}$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx.

Tập xác định của hàm số côtang là R\{k $\pi$ |k $∈$ Z}.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số $y = -\frac{2}{sinx}$ .

Hướng dẫn giải

Biểu thức $-\frac{2}{sinx}$ có nghĩa khi sinx ≠ 0, tức là x $\ne$ k $\pi$ (k $∈$ Z).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là R\{k $\pi$ |k $∈$ Z}.

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = – f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét: Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x² – 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có: f(–x) = (–x)² – 3 = x² – 3 = f(x).

Vậy f(x) là hàm số chẵn.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

i) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

ii) f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét:

a) Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2ℼ. Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì ℼ.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, … ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Chú ý: Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = Asinωx và y = Acosωx (ω ≠ 0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì T =

.

Ví dụ: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cos2x.

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là ℝ và với mọi số thực x, ta có:

x – ℼ ∈ ℝ, x + ℼ ∈ ℝ

cos2(x + ℼ) = cos (2x + 2ℼ) = cos2x

Vậy y = cos2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = ℼ.

Hàm số y = sin x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng

và nghịch biến trên mỗi khoảng

, k ∈ ℤ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = sin x nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y < 0 khi x ∈ (–ℼ; 0).

Hàm số y = cos x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng ( $- \pi + k2 \pi ; k2 \pi$ ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( $k2 \pi ; \pi + k2 \pi$ ), k∈ ℤ;

- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = cos x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y > 0 khi x ∈

.

Hàm số y = tan x

- Có tập xác định là R\

và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng

; k∈Z

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên

để hàm số y = tan x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn

thì y > 0 khi x ∈

.

Hàm số y = cot x

- Có tập xác định là R\{k $\pi$ |k $∈$ Z} và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (k $\pi$ ; $\pi$ +k $\pi$ ), k $∈$ Z;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên

để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn

thì y > 0 khi x ∈

.

Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1 + sinx}{cosx}$ ;

b) $y = \sqrt{\frac{1 + cosx}{1-cosx}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1 + sinx}{cosx}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi}{2} + k \pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{1 + sinx}{cosx}$ là D = R\

.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1 + cosx}{1-cosx}}$ có nghĩa khi

(1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1 + cosx}{1-cosx} \ge 0$ khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 + cosx}{1-cosx}}$ là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ $\sqrt{sinx}$ ;

b) y = 3cos

- 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0 \le \sqrt{s \text{inx}} \le 1$ ⇒ 1+0 $\le$ 1 + $\sqrt{sinx}$ $\le$ 1 + 1 ⇒ 1 $\le$ 1+ $\sqrt{sinx}$ $\le$ 2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+ $\sqrt{sinx}$ là [1; 2].

b) Ta có $-1 \le cos$

$\le$ 1, $∀$ x $∈$ R ⇔ -3 $\le$ 3cos

$\le$ 3, $∀$ x $∈$ R

⇔ -4 $\le$ 3cos

- 1 $\le$ 2, $∀$ x $∈$ R

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos

- 1 là [–4; 2].