Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Cấp số cộng (u_n) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: u_n = u_{n - 1} + d với n ≥ 2.

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 2. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là:

u₁ = 5

u₂ = u₁ + d = 5 + 2 = 7

u₃ = u₂ + d = 7 + 2 = 9

u₄ = u₃ + d = 9 + 2 = 11

u₅ = u₄ + d = 11 + 2 = 13.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n – 2. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của nó.

Hướng dẫn giải

Ta có: u_n – u_{n - 1} = (3n – 2) – [3(n – 1) – 2] = (3n – 2) – (3n – 5) = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 3 . 1 – 2 = 1 và công sai d = 3.

- Chú ý: Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với số hạng đầu là a và công sai d = 0.

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định theo công thức

u_n = u₁ + (n – 1)d.

Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 50 của cấp số cộng (u_n): 9, 6, ….

Hướng dẫn giải

Cấp số cộng này có số hạng đầu u­₁ = 9 và công sai d = 6 – 9 = – 3.

Do đó năm số hạng đầu là: 9, 6, 3, 0, – 3.

Số hạng thứ 50 là u₅₀ = u₁ + (50 – 1)d = 9 + 49 . (– 3) = – 138.

Ví dụ: Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng (u_n) bằng 75 và số hạng thứ 15 bằng 115. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và d là công sai của cấp số cộng đó. Ta có:

u₁₀ = u₁ + 9d = 75

u₁₅ = u₁ + 14d = 115

Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta được u₁ = 3 và d = 8

Vậy số hạng thứ 100 của cấp số cộng này là u₁₀₀ = u_1­ + 99d = 3 + 99 . 8 = 795.

- Cho cấp số cộng (u_n) với công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n. Khi đó

S_n = $\frac{n}{2}$ [2u₁+(n+1)d].

Chú ý: Sử dụng công thức u_n = u₁ + (n – 1)d, ta có thể viết tổng S_n dưới dạng

Ví dụ: Số bàn học ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng, gồm 20 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3. Tìm tổng các số hạng này.

Hướng dẫn giải

Tổng các số hạng là:

S₂₀ = u₁ + u₂ + …. + u₂₀ = $\frac{20}{2}$ [2u₁+(20-1)d]= $\frac{20}{2}$ (2 . 15 + 19 . 3) = 870.

Bài tập Cấp số cộng

Bài 1: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3, 8, 13, 18, ...;

b) 1, –2, –5, –8, ...

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: 8 – 3 = 5; 13 – 8 = 5

Suy ra cấp số cộng có u₁ = 3, công sai d = 5

Số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = 3 + 5(n – 1) = 3 + 5n – 5 = 5n – 2.

Số hạng thứ 5: u₅ = 3 + 5 . (5 – 1) = 23

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 3 + 5 . (100 – 1) = 498.

b) Ta thấy: –2 – 1= –3; –5 – (–2) = –3

Suy ra cấp số cộng có u₁ = 1, công sai d = –3

Số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = 1 – 3(n − 1) = 1 – 3n + 3 = 4 – 3n.

Số hạng thứ 5: u₅ = 1 − 3. (5 – 1) = −11

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 1 – 3. (100 – 1) = −296.

Bài 2: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ + (n – 1)d.

a) u_n = 3 + 4n;

b) u_n = 6n − 4;

c) u₁ = 3, u_n = u_n–1 + n.

Hướng dẫn giải

a) u₁ = 7; u₂ = 11; u₃ = 15; u₄ = 19; u₅ = 23

Ta có: u_n − u_n–1 = 3 + 4n − [3 + 4(n − 1)] = 4, với ∀n ≥ 2.

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u₁ = 7 và công sai d = 4

Số hạng tổng quát: u_n = 7 + 4(n − 1).

b) u₁ = 2; u₂ = 8; u₃ = 14; u₄ = 20; u₅ = 26

Ta có: u_n − u_n–1 = 6n − 4 − [6(n − 1) − 4] = 6, với ∀ n ≥ 2.

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u₁ = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát: u_n = 2 + 6(n − 1).

c) u₁ = 3; u₂ = 5; u₃ = 8; u₄ = 12; u₅ =17

Ta có: u₂ − u₁ = 2 ≠ u₃ – u₂ = 3

Suy ra đây không phải cấp số cộng.

Bài 3: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 22 và số hạng thứ 12 bằng 43. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và d là công sai của cấp số cộng đó. Ta có:

u₅ = u₁ + 4d = 22

u₁₂ = u₁ + 11d = 43

Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta được u₁ = 10 và d = 3.

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số cộng này là u₅₀ = u_1­ + 49d = 10 + 49 . 3 = 157.

Bài 4: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 4. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 561?

Hướng dẫn giải

Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:

561 = S_n = $\frac{n}{2}$ [2.1+(n-1).4] = $\frac{n}{2}$ (-2+4n) = –n + 2n²

Do đó 2n² – n – 561 = 0.

Giải phương trình bậc hai này ta được n = –16,5 (loại) hoặc n = 17.

Vậy ta phải lấy 17 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để có tổng bằng 561.

Bài 5: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,5 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 15 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030.

Hướng dẫn giải

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có u₁ = 1 500 (nghìn người), công sai d = 15.

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: u_n = 1 500 + 15(n − 1).

Dân số của năm 2030 tức n = 11 thì u₁₁ = 1 500 + 15 . (11 − 1) = 1 650 (nghìn người)

Vậy ước tính dân số của thành phố năm 2030 là 1650 nghìn người hay 1,65 triệu người.