Lý thuyết Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu d(M, a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

• Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), kí hiệu d(M, (P)), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Chú ý. d(M, a) = 0 khi và chỉ khi M ∈ a; d(M, (P)) = 0 khi và chỉ khi M ∈ (P).

Nhận xét. Khoảng cách từ M đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc a (thuộc (P)).

Chú ý. Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Ví dụ 1. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng ∆, hai điểm B, C thuộc ∆ sao cho BC = a, diện tích tam giác ABC bằng S. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ theo a, S.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó d(A, ∆) = AH. Vì diện tích tam giác ABC bằng S nên   $S = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AH \cdot a$ .

Suy ra   $d ( A , \Delta ) = AH = \frac{2S}{a}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng   $\frac{2S}{a}$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAB vuông tại S,  $AB = a , SA = \frac{3a}{5}$ . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S trên AB.

Xét tam giác SAB vuông tại S có:

Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) bằng   $\frac{12a}{25}$

• Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, kí hiệu d(a, (P)), là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), kí hiệu d((P),(Q)), là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n, kí hiệu d(m, n), là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Chú ý. Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều,   $( SAB ) \perp ( ABCD ) , AB = a , AD = 2a$ .

a) Chứng minh rằng CD // (SAB). Tính khoảng cách giữa CD và mặt phẳng (SAB).

b) Chứng minh rằng BC // (SAD). Tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).

Hướng dẫn giải

Vậy khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$  có $(A^{'}ABB^{'}) \perp ( ABC ) ,$ $AA^{'} = 2a , \widehat{A^{'}AB} = 60 ^{\circ} .$ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và $(A^{'}B^{'}C^{'})$ .

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A' trên AB

Xét tam giác A'AH vuông tại H có   $A^{'}H = A^{'}Asin\widehat{A^{'}AH} = 2asin60 ^{\circ} = a\sqrt{3}$ .

Suy ra   $d(( ABC ) , (A^{'}B^{'}C^{'})) = d(A^{'} , ( ABC )) = A^{'}H = a\sqrt{3} .$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng  $( ABC )$  và   $(A^{'}B^{'}C^{'})$ bằng   $a\sqrt{3}$ .

Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Nhận xét

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương ứng chứa hai đường thẳng đó.

Ví dụ 5. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có   $AB = a , AD = 3a , AA^{'} = 2a$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) AB và B'C';

b) AA' và BC;

c) BB' và C'D'.

Hướng dẫn giải

Bài tập Khoảng cách

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có  $SA \perp ( ABC )$ , đáy là tam giác ABC vuông tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm B đến đường thẳng SC.

b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

Hướng dẫn giải

Theo định lí Pythagore, ta tính được   $SB = AC = a\sqrt{2} , SC = a\sqrt{3} .$

Xét tam giác SBC vuông tại B có đường cao BH.

Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AK.

Khi đó  $AK = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Vậy  $d ( A , ( SBC ) ) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

c) Dựng hình bình hành ABCD, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông.

Vì mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB nên 

$d ( AB , SC ) = d ( AB , ( SCD ) ) = d ( A , ( SCD ) ) \text{\,\,} ( 2 ) .$

Từ (1) và (2), suy ra d(AB, SC) = AE.

Vì tam giác SAD vuông cân tại A, có đường cao AE nên   $AE = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy   $d ( AB , SC ) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 2. Cho hình lập phương  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$  có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:

a) Giữa hai đường thẳng AB và C'D'.

b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  $(A^{'}B^{'}C^{'}D^{'})$

c) Từ điểm A đến đường thẳng B'D'.

d) Giữa hai đường thẳng AC và B'D'.

Hướng dẫn giải

a) Vì BC' vuông  góc  với cả hai đường thẳng AB và C'D' nên  $d(AB , C^{'}D^{'}) = BC^{'} = a\sqrt{2} .$

c) Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D', ta có  $AO^{'} \perp B^{'}D^{'}$ , theo định lí Pythagore, áp dụng cho tam giác  $AA^{'}O^{'}$  vuông tại A' thì  $AO^{'} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật có

a) Từ điểm A đến mặt phẳng   $(BDD^{'}B^{'})$

b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Hướng dẫn giải

a) Kẻ AH vuông góc với BD tại H.

Vì AC cắt BD tại trung điểm của AC nên   $d(C , (A^{'}BD)) = d(A , (A^{'}BD))$

Kẻ AK vuông góc với A'H tại K. Khi đó $AK \perp (A^{'}BD)$ , suy ra

  $d(A , (A^{'}BD)) = AK = \frac{AH \cdot AA^{'}}{A^{'}H} = \frac{a\sqrt{66}}{11} \text{.~}$

Vậy   $d(CD^{'} , BD) = \frac{a\sqrt{66}}{11} .$

Bài 4. Cho hình hộp  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình thoi cạnh   $a , AA^{'} \perp ( ABCD )$ , $AA^{'} = 2a , AC = a$ . Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng   $(BCC^{'}B^{'})$

b) Giữa hai mặt phẳng  $(ABB^{'}A^{'})$ và   $(CDD^{'}C^{'})$ ;

c) Giữa hai đường thẳng BD và A'C.

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó,   $AH \perp (BCC^{'}B^{'})$

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên   $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy  $d(A , (BCC^{'}B^{'})) = AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Vì  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình hộp nên  $(ABB^{'}A^{'}) \text{//} (CDD^{'}C^{'})$

Gọi I là hình chiếu của A trên CD. Vì tam giác ACD đều cạnh a nên $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Khi đó,   $d((ABB^{'}A^{'}) , (CDD^{'}C^{'})) = AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

c) Gọi E là hình chiếu của O trên A'C. Vì  $BD \perp (A^{'}AC)$ nên $BD \perp OE$