Lý thuyết Toán 11 Bài 11: Hai đường thẳng song song

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.

- Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

- Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

TH1: a và b cùng nằm trong một mặt phẳng

TH2: a và b không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào

Nhận xét:

+ Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

+ Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Chú ý: Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.

Ví dụ: Cho hình tứ diện SABC. Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện này?

Hướng dẫn giải

Nếu hai đường thẳng SA và BC không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng, khi đó bốn điểm S, A, B, C đồng phẳng, trái với giả thiết SABC là hình tứ diện.

Do đó, hai đường thẳng SA và BC chéo nhau.

Lập luận tương tự, ta thấy cặp đường thẳng chéo nhau là SB và AC, SC và AB.

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tính chất 2: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 3: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến:

a) (SAC) và (SBD).

b) (SAB) và (SCD).

Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đều đi qua đỉnh S.

Đồng thời H = AC ∩ BD. Suy ra H = (SAC) ∩ (SBD)

Do đó : SH = (SAC) ∩ (SBD).

Vậy giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SH.

b) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có chung điểm S và chứa hai đường thẳng song song là AB và CD.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng Sx đi qua S và song song với AB, CD.

Bài tập Hai đường thẳng song song

Bài 1: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

a) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

b) Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

c) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Hai đường thẳng không có điểm chung có thể là hai đường thẳng song song.

b) Đúng.

c) Đúng.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS và AC hoặc song song hoặc đồng quy.

Hướng dẫn giải

Mà P ∈ (PQRS) suy ra P ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Tương tự Q ∈ (PQRS) suy ra Q ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Suy ra: PQ = (PQRS) ∩ (ABC)

Chứng minh tương tự với RS, ta được RS = (PQRS) ∩ (ABC)

Ta có: AC = (ABC) ∩ (ACD)

Theo tính chất, suy ra ba đường thẳng PQ, RS và AC đôi một song song hoặc đồng quy.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác PQCD là hình thang.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác SAB ta có PQ là đường trung bình suy ra PQ // AB.

Mà AB // CD (theo giả thiết) do đó PQ // CD.

Suy ra PQCD là hình thang.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao tuyến của (GIJ) và (BCD)?

Hướng dẫn giải

Ta thấy: G ∈ (GIJ) ∩ (BCD)

Vì I, J là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra IJ // CD.

Mà IJ ⸦ (GIJ), CD ⸦ (BCD)

Suy ra: giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là 1 đường thẳng d đi qua G và song song với CD.